Чжэня Число

Характеристическое число квазикомплексных многообразий. Пусть -произвольный характеристич. класс. Для замкнутого квазикомплексного многообразия М 2n целое число наз. числом Чжэня многообразия М 2n, соответствующим классу х, здесь -фундаментальный класс многообразия или ориентация, однозначно определенная квазикомплексной структурой, -касательное расслоение к М. Если в качестве х взять характеристич. класс с рациональными коэффициентами, то соответствующие ему Ч. ч. будут рациональными. Ч. ч. х[М 2n]зависит лишь от однородной компоненты степени 2пкласса х. Ч. ч. инвариантны относительно квазикомплексного бордизма, следовательно, характеристич. класс хиндуцирует гомоморфизм Разбиением числа пназ. набор целых неотрицательных чисел с i+ ... + ik=n. Если для квазикомплексных многообразий М, N размерности 2п при всех разбиениях w числа п имеет место равенство (см. Чжэня класс), то многообразия Ми Nкобордантны (в квазикомплексном смысле). Пусть А- свободная абелева группа с базисом находящимся во взаимно однозначном соответствии со всеми разбиениями числа n. Приведенная теорема утверждает, что гомоморфизм мономорфен. Ниже дано описание образа гомоморфизма (задача Милнора — Хирцебруха). Другими словами, какие наборы целых чисел заданных для всех разбиений числа п, являются Ч. ч. квазикомплексного многообразия? Ч. ч. можно определить в произвольной мультипликативной ориентированной теории когомологий h*, только в этом случае Ч. ч. квазикомплексного многообразия будет элементом кольца h*(pt). Для теории когомологий h* определена двойственная ей теория гомологии h*, и так как h* ориентирована и мультипликативна, то для каждого квазикомплексного многообразия Мможет быть однозначно определен фундаментальный класс где Далее, как и в обычной теории, имеется спаривание Если то применение хк относительно этого спаривания обозначается Для характеристич. класса усо значениями в h* и замкнутого квазикомплексного многообразия Мэлемент наз. числом Чжэня в теории h*. Предыдущие соображения применимы и к К-теории. Пусть М — квазикомплексное многообразие (возможно, с краем), — произвольный элемент. Тогда целое число может быть вычислено по формуле: где Т-Тодда класс, задаваемый рядом Если многообразие Мзамкнуто, то при получается =Т[М]. Характеристич. число Т[М]наз. родом Тодда многообразия Ми является целым числом для любого замкнутого квазикомплексного многообразия. Часто Т[М]обозначают Td (M). Касательные многообразия представляют собой один из важных примеров квазикомплексных многообразий. Пусть M-замкнутое действительное многообразие размерности п. Многообразие TN всех касательных векторов к Nимеет естественную структуру квазикомплексного многообразия: i( х, у)=-( у, -х). Пусть на Nвыбрана риманова метрика и через обозначено многообразие с краем, образованное всеми векторами длины, не превосходящей единицы. Если то целое число наз. топологическим индексом элемента Если есть класс символа эллиптич. оператора D, заданного на многообразии N, то (теорема Атьи — Зингера), а приведенная выше формула для вычисления числа приводит к когомологич. форме теоремы об индексе. Для набора целых неотрицательных чисел и замкнутого квазикомплексного многообразия Мразмерности 2ппусть -Ч. ч. в K-теории: а -обычное Ч. ч. Число может быть отлично от нуля лишь тогда, когда — разбиение числа п. Число может быть отлично от нуля при наборах Любой гомоморфизм может быть представлен в виде линейной комбинации с целыми коэффициентами гомоморфизмов при где (теорема Стонга — Хаттори). Характеристич. числа при мотут быть представлены в виде где -рациональные коэффициенты, а М- любое замкнутое квазикомплексное многообразие размерности 2 п. Пусть а произвольный элемент из группы А, Тогда элемент принадлежит образу гомоморфизма j: тогда и только тогда, когда — целое число для всех наборов Лит. см. при статье Чжзня класс. А. Ф. Харшиладзе.