ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ВОЛНА

Волна, радиально расходящаяся от (сходящаяся к) нек-рой оси в пространстве или точке на плоскости. В последнем случае эти волны наз. также круговыми. Примерами Ц. в. могут служить волны на поверхности воды от брошенного камня или колеблющегося поплавка, электромагн. или акустич. волны, возбуждаемые источниками, расположенными в пространстве, ограниченном, напр., двумя плоскопараллельными отражателями (в т. ч. внутри океанич. волноводов и т. д.).

Структура Ц. в. существенно сложнее структуры плоских (одномерных) и сферич. (трёхмерных) волн. Простейшая монохроматич. симметричная Ц. в. с источником в центре (рис. 1) удовлетворяет двумерному волновому уравнению и описывается с помощью функции Ханкеля нулевого порядка H0(kr):

u(r, t)=H0(kr)eiwt, (1)

где со — круговая частота, k — волновое число. На больших расстояниях от оси (kr -> 1) волновое поле (1) приобретает вид:

u(r, t)=(A/?r)exp(wt-kr), (2)

Рис. 1 Радиально расходящаяся цилиндрич. волна, возбуждаемая источником в центре.

и только в этом асимптотич. представлении в Ц. в. можно однозначно выделить амплитуду А/?r и фазу wt-kr=w(t-r/vф), где фазовая скорость vф совпадает с фазовой скоростью плоской волны: vф=w/k=2p/l (l— длина волны). По мере удаления от оси квадрат модуля волнового возмущения (2) убывает как 1/r, а поверхность цилиндра, охватывающая источник, растёт пропорционально r, так что, в соответствии с законом сохранения энергии, суммарное значение потока энергии, уносимого от источника на оси, остаётся постоянным. При отсутствии дисперсии волн из гармонич. волн (2) вдали от оси можно составить волну любой формы (в частности, уединённую волну, или волновой пакет), перемещающуюся с постоянной скоростью vф=v

u(r,t)=(A/?r)f(t-r/v), (3)

где ф-ция f(t-r/v) удовлетворяет одномерному волновому ур-нию. Однако в промежуточной области, где kr=1,

Рис. 2. Радиально расходящаяся цилиндрич. волна, заданная в начальный момент времени в форме одиночного импульса u=u0/(1+r/r0)3/2. С увеличением t=ct/r0 (с ростом времени t) импульс расплывается, оставляя за собой «шлейф».

даже в среде без дисперсии происходит сильная деформация волнового возмущения (рис. 2). Это связано с тем, что Ц. в. в принципе нестационарна: удаляясь от оси (центра), она оставляет за собой «шлейф», к-рый можно интерпретировать как результат прихода волновых возмущений от всё более и более удалённых от точки наблюдения источников на оси.