Четырехмерное Многообразие

Топологич. пространство, каждая точка к-рого имеет окрестность, гомеоморфную четырехмерному числовому пространству или замкнутому полупространству Это определение обычно дополняют требованием того, чтобы Ч. м., как топологич. пространство, было хаусдорфовым и имело счетную базу. Топология Ч. м. занимает особое место в топологии многообразий. С одной стороны, размерность 4 слитком мала для беспрепятственного применения соображений общего положения и трансверсальности, столь продуктивных в многомерной топологии, и достаточно велика для того, чтобы исключить прямое использование более интуитивных методов трехмерной топологии. С другой стороны, топология Ч. м. наследует многие трудности как трехмерной, так и многомерной топологии многообразий. Это объясняется, напр., тем, что край Ч. м. может быть произвольным трехмерным многообразием, и тем, что любая конечно определенная группа является фундаментальной группой нек-рого замкнутого Ч. м. На последнем замечании основано доказательство невозможности алгоритмич. распознавания сферы среди Ч. м. Аномальность размерности 4 хорошо иллюстрируется следующим фактом: на многообразии существует нестандартная кусочно линейная (и дифференцируемая) структура только при n=4. Существуют Ч. м., не допускающие кусочно линейной структуры. Если все же такая структура имеется, то имеется и единственная согласованная с ней дифференцируемая структура. Ч. м., снабженное комплексной структурой, наз. аналитической поверхностью. Каждому замкнутому ориентированному Ч. м. Мотвечает унимодулярная целочисленная симметрическая билинейная форма LM, задаваемая на свободной части группы с помощью пересечения циклов. Сигнатура атой формы наз. сигнатурой многообразия. Форма пересечений является важнейшим инвариантом Ч. м. Два замкнутых односвязных дифференцируемых Ч. м. h-кобордантны тогда и только тогда, когда их формы изоморфны. Если квадратичная форма, отвечающая билинейной форме LM дифференцируемого Ч. м. М, принимает только четные значения, то структурную группу SO его стабильного касательного расслоения можно заменить на группу Spin. Такие Ч. м. наз. спинорными. Имеется топологич. классификация замкнутых односвязных Ч. м. Каждое такое Ч. м. с четной формой полностью определяется ею, причем любая четная целочисленная симметрическая унимодулярная форма реализуема как форма пересечения односвязного топологического Ч. м. В частности, справедлива четырехмерная топологич. гипотеза Пуанкаре. Классифицирующим инвариантом Ч. м. с нечетной формой служат пары вида где L — нечетная целочисленная симметрическая унимодулярная билинейная форма, а или 1. Каждое замкнутое односвязное Ч. м. Мс нечетной формой полностью определяется парой где если стабильное касательное расслоение многообразия Мдопускает векторную редукцию, и 1 в противном случае. Любая такая пара реализуема. Вопрос о том, какие формы реализуются односвязными дифференцируемыми Ч. м., до конца не исследован. Известно, что можно реализовать все нечетные неопределенные формы. Из четных неопределенных форм связные суммы Куммера поверхностей и многообразий реализуют формы вида если тчетно и Форма указанного вида с нечетным числом тзаведомо не является формой пересечения замкнутого дифференцируемого Ч. м., так как сигнатура такого спинорного многообразия обязана делиться на 16, а сигнатура форм равна 8т. Из определенных форм реализуемы только формы, задаваемые единичными матрицами. Лит.:[1] Мандельбаум Р., Четырехмерная топология, пер. с англ., М., 1981; [2] Siеbenmann L., La conjecture de Poincare topologique en dimension 4, Seminaire Bourbaki. 34 annee, 1981/82, n