Чебышева Многочлены

Первого рода — многочлены, ортогональные на отрезке [-1, 1] с весовой функцией Для стандартизованных Ч. м. справедливы формула и рекуррентное соотношение с помощью к-рых находят последовательно T0 (x) = 1, T1(x) = x, Т2 (х)=2х 2-1, T3(x) = 4x3 — З х, T4(x) = 8x4 — 8x2 + 1, Т 5 (х)= 16x5 — 20x3 + 5 х, .... Ортонормированные Ч. м.: Старший коэффициент многочлена Т n (х) при равен 2n-1. Поэтому Ч. п. с единичным старшим коэффициентом определяются формулой Нули многочлена Т п(x), определяемые равенством часто применяются в качество узлов интерполяционных и квадратурных формул. Многочлен Т п (х)является решением дифференциального уравнения Многочлен наименее отклоняется от нуля на отрезке [-1, 1], т. е. для всякого другого многочлена степени пс единичным старшим коэффициентом выполняется условие С другой стороны, для всякого многочлена Qn(x) степени не выше и, удовлетворяющего условию при любом имеет место неравенство Если функция f(x)непрерывна на отрезке [-1, 1] и ее модуль непрерывности удовлетворяет условию Дини то эта функция разлагается в ряд Фурье — Чебышева сходящийся равномерно на отрезке [-1, 1]. Коэффициенты этого ряда определяются по формуле Если же функция f(х)непрерывно дифференцируема рраз на отрезке [-1, 1], причем ее р-я производная f (Р) (х) удовлетворяет условию Липшица порядка т. е. то имеет место неравенство где постоянная с 1 не зависит от пи х. Ч. м. второго рода определяются равенством Эти многочлены ортогональны на отрезке [-1, 1] с весовой функцией Для всякого многочлена с единичным старшим коэффициентом справедливо неравенство Ч. м. были введены в 1854 П. Л. Чебышевым (см. [1]). Обе системы Ч. м. являются частными случаями ультрасферических многочленов и Якоба многочленов. Лит.:[1] Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2, М.- Л., 1947, с. 23-51; [2] Сегё Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962. П. К. Суетин.