Частотная Теорема

Теорема, формулирующая условия разрешимости уравнений Лурье где — заданные матрицы размеров соответственно, Н=Н*, h — искомые матрицы размера nX . и . Х т. Уравнения Лурье имеют две другие эквивалентные формы: при где и в общем случае где заданная эрмитова форма векторов При этом Если пара управляема, то уравнения Лурье сводятся к случаю, когда При m = 1 и когда все матрицы действительны, в скалярной записи уравнения Лурье приобретают вид здесь h=[h1, ... , hn]- искомый вектор. Пусть пара стабилизируема, т. е. существует rтакое, что R = P+qr* — матрица Гурвица. утверждает: для разрешимости уравнений Лурье необходимо и достаточно, чтобы для всех (I-единичная матрица). Ч. т. также формулирует процедуру определения матриц H, h и утверждает, что при существуют такие (единственные) матрицы H, h, чтокроме (3) выполнено: есть матрица Гурвица (см. [3]). Уравнение Лурье в форме (2) иногда наз. также матричным алгебраическим уравнением Риккати. Ч. т. используется при решении задач абсолютной устойчивости [2, 4, 5], управления и адаптации (см., напр., [6]). Лит.:[1] Лурье А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования, М.- Л., 1951; [2] Попов В. М., Гиперустойчивость автоматических систем, пер. с рум., М., 1970; [3] Якубович В. А., лСиб. матем. ж.