Бюрмана — Лагранжа Ряд

Ряд Лагранжа, — степенной ряд, полностью решающий задачу локального обращения голоморфных функций. Именно, пусть функция комплексного переменного z регулярна в окрестности точки , причем и . Тогда в нек-рой окрестности точки плоскости определена регулярная функция , обратная по отношению к и такая, что при этом, если — любая регулярная в окрестности точки функция, то сложная функция разлагается в окрестности точки w=b вряд Бюрмана — Лагранжа Случай непосредственного обращения функции получается при . Разложение (*) вытекает из теоремы Бюрмана [1]: при указанных выше предположениях относительно голоморфных функций последняя в нек-рой области на плоскости z, содержащей точку а, может быть представлена в виде: — контур на плоскости t, содержащий внутри точки а и z и такой, что если — какая-либо точка внутри , то уравнение не имеет ни на , ни внутри иных корней, кроме простого корня . Разложение (*) для случая было получено Ж. Лагранжем [2]. В случае, когда производная имеет в точке нуль порядка r- 1, В. -Л. р. для многозначной обратной функции допускает следующее обобщение (см.[3]): Другое обобщение (см., напр., [4]) относится к функциям , регулярным в кольце; оно приводит вместо ряда (*) к ряду по положительным и отрицательным степеням разности . Лит.:[1] Burmann H., "Mem. de 1'Inst. national des sci. et arts. Sci. Math, et Phys.", P., 1799, t. 2, p. 13-17; [2] Lagrange J. L., "Mem. de Г Academic royale des sci. et belles-lettres de Berlin", 1770, t. 24; CEuvres, t. 2, P., 1868 p. 581 — 652; [3] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968, ч. 1, гл. 8; [4] Уиттекер 3. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1962; [5] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967. Е. Д. Соломенцев.