Этимологический словарь Макса Фасмера
будоражить
будора́жить
бутара́жить "беспокоить, тревожить", будара́га "возбуждение; беспокойный человек"; Шахматов (ИОРЯС 7, 2, 354) считает форму на -т- первичной и предполагает связь с буторга́ "беспокойство", куторга́ – то же и торга́ть "дергать". Ср. также взбудура́жить, взбутура́жить "взбудоражить", смол. (Добровольский). Неясное слово.
••
[будоражить, ср. Слов. Акад. 1847 г.: бударажить происходит, по-видимому, из укр. будара́жити "снаряжать челны, будары" (Кулиш.); см. Трубачев, в сб. "Этимологические исследования по русскому языку", 3, 1961, стр. 44. – Т.]