Брюа Разложение

Представление связной ал-гебраич. редуктивной группы G в виде объединения двойных классов смежности по Бореля подгруппе, параметризуемых Вейля группой группы G. Точнее, пусть — противоположные подгруппы Бореля редуктивной группы — соответственно уни-потентные части (см. Линейная алгебраическая группа), W — группа Вейля группы G. Через wниже обозначается как элемент группы W, так и его представитель в нормализаторе тора , поскольку приводимая конструкция не зависит от выбора представителя. Для каждого рассматривается группа Тогда группа представима в виде объединения непересекающихся двойных смежных классов , причем морфизм ) является изоморфизмом алгебраич. многообразий. Дальнейшее уточнение Б. р. позволяет получить клеточное разбиение проективного многообразия GIB, а именно: если — неподвижная относительно левых сдвигов на элементы из Вточка многообразия GIB (такая точка всегда существует, см. Бореля теорема о неподвижной точке), то является объединением непересекающихся E/-орбит вида , (см. Алгебраическая группа преобразований), причем морфизм есть изоморфизм алгебраич. многообразий. Каждая из групп , как многообразие, изоморфна аффинному пространству; в случае, когда основное поле есть поле комплексных чисел, каждая из указанных U-орбит является клеткой в смысле алгебраич. топологии и это позволяет вычислить гомологии . Существование Б. р. для ряда классич. групп было установлено Ф. Брюа (F. Bruhat, 1956), в общем случае это доказал-К. Шевалле [3]. А. Борель (A. Borel) и Ж. Тите (J. Tits) обобщили конструкцию Б. р. на группы k-точек k-определенной алгебраич. группы [2]. При этом роль Сррелевских подгрупп играют минимальные параболич. k-прдгруппы, роль групп U — их унигютентные радикалы, -а вместо Wрассматривается относительная, или k-группа Вейля Wk. Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Борель А., Титс Ж., "Математика", 1967, т. 11, № 1, с. 43-111; [3] Сhеva1lеу С., Classification des groupes de Lie algebriques, v. 2, P., 1958. В. Я. Платонов.