Брауэра — Севери Многообразие

Алгебраическое многообразие над полем k, которое, если его рассматривать над алгебраич. замыканием поля , изоморфно проективному пространству. Арифметич. свойства таких многообразий изучал Ф. Севери (F. Severi, 1932), позднее Ф. Шатле [1] вскрыл связь Б. -С. М. с центральными простыми алгебрами над полем kи c Брауэра группой. Простейшим нетривиальным примером одномерного Б.- С. м. является проективная коника Q: на действительной проективной плоскости . Над полем комплексных чисел это многообразие изоморфно проективной прямой . Множество всех одномерных Б.- С. м. (рассматриваемых с точностью до изоморфизма) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством проективных невырожденных коник (рассматриваемых с точностью до проективной эквивалентности над k), к-рое, в свою очередь, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством (неизоморфных) алгебр обобщенных кватернионов над k. В приведенном выше примере конике соответствует алгебра обычных кватернионов. В многомерном случае множество классов и-мерных Б. -С. м. (т. е. множество Б. -С. м., различаемых с точностью до k-изоморфизма) может быть отождествлено с множеством Галуа когомологий где — проективная группа автоморфизмов проективного пространства (см. [3], [4]). Этим же множеством когомологий описываются классы k-изоморфных центральных простых й-алгебр ранга (т. е. форм матричной алгебры ). Более явно связь Б.- С. м. с центральными простыми алгебрами устанавливается следующим образом, k-алгебре Аранга сопоставляется многообразие Xее левых, идеалов ранга г, к-рое задается как замкнутое подмногообразие в Грассмана многообразии всех k-линейных подпространств размерности rв А. В нек-рых случаях многообразие Xможно задать с помощью норменных уравнений, как, например, в случае алгебр кватернионов. Взаимосвязь Б.- С. м. и алгебр существенно используется при изучении как тех, так и других (см. [1], [4]). Наиболее существенными свойствами В.- С. м. являются следующие. Б. -С. м. Xтогда и только тогда k-изоморфно проективному пространству Р nk , когда оно имеет точку в поле k. Любое Б.- С. м. имеет точку в нек-ром конечном сепарабельном расширении Кполя k(см. [1]). Для Б.- С. м., определенных над полем алгебраич. чисел, справедлив Хассе принцип. Поле рациональных функций k(X).на В. -С. м. Xявляется полем разложения соответствующей алгебры А;более того, произвольное расширение Кполя kтогда и только тогда является полем разложения для А, когда Xимеет К- точку (см. [4]). В связи с обобщением на схемы понятий центральной простой алгебры и группы Брауэра было введено понятие схем Брауэра — Севери, обобщающее понятие Б.- С. м. (см. [2]). Пусть — морфизм схем. Схема Рваз. схемой Брауэра — Севери, если локально, в этальной топологии схемы X, схема Ризоморфна проективному пространству над X. Схема Рнад схемой Xтогда и только тогда является схемой Брауэра — Севери, когда — конечно представленный собственный плоский морфизм и все геометрич. слои его изоморфны проективным пространствам [2]. Лит.:[1] F., "Ann. Ecole Normal supereur", 1944, t. 61, p. 249-300; [2] Grоthendiесk A., Le groupe de Brauer, в кн.: Seminaire Bourbaki, annge 17, 1964/65, N. Y.- Amst., exposes 290, p. 1-21: [3] Серр Ж.-П., Когомологий Галуа, пер. с франц., М., 1968; [4] Рокетт П., "Математика", 1967, т. И, в. 5, с. 88 -116. В. А. Исковских.