Брауэра Группа

Поля k — группа классов конечномерных центральных простых алгебр над полем k, относительно эквивалентности, определенной следующим образом. Две центральные простые k-алгебры А к В конечного ранга эквивалентны, если существуют такие целые положительные числа ти п, что тензорные произведения являются изоморфными k-алгебрами (здесь алгебра квадратных матриц порядка rнад k). Тензорное умножение алгебр индуцирует на множестве классов эквивалентных центральных простых конечномерных алгебр структуру абелевой группы, к-рая и наз. Б. г. поля kи обозначается Brk. Нулевым элементом этой группы служит класс полных матричных алгебр, а обратным элементом к классу алгебры А — класс ее инверсной алгебры. Каждый ненулевой класс содержит ровно одну, с точностью до изоморфизма, k-алгебру с делением (т. е. тело над k). Б. г. была определена и изучалась в серии работ Р. Брауэра (R. Вrauer), Э. Нётер (Е. Noether), A. Алберта (A. Albert), X. Хассе (Н. Hasse) и др. начиная с 20-х гг. 20 в. (см., напр., [6]). Наиболее законченные результаты, вплоть до полного вычисления Б. г., были получены для числовых полей в связи с развитием полей классов теории. В терминах Б. г. формулируется общая форма закона взаимности. Б. г. равна 0 для любого сепарабельно замкнутого поля и любого конечного поля. Для поля действительных чисел Б. г. есть циклич. группа 2-го порядка и ее ненулевой элемент — класс алгебры кватернионов. Если k — поле р-адических чисел или любое полное дискретно нормированное локально компактное поле, то его Б. г. изоморфна (здесь Q — аддитивная группа рациональных чисел, Z — аддитивная группа целых чисел). Этот факт занимает важное место в локальной теории полей классов. Пусть k- поле алгебраич. чисел конечной степени или поле алгебраич. функций от одной переменной с конечным полем констант. Тогда имеет место точная последовательность групп: где n пробегает всевозможные нормирования поля k, -соответствующие пополнения поля k, гомоморфизм inv индуцируется естественными вложениями Образ элемента из в наз. локальным инвариантом, гомоморфизм е является суммированием локальных инвариантов. Этот факт устанавливается в глобальной теории полей классов. Если fe- поле алгебраич. функций от одной переменной над алгебраически замкнутым полем констант, то его Б. г. нулевая (теорема Тзена). Случай произвольного поля констант разобран в [4] и [7]. Б. г. функториально зависит от fe, т. е. если К — расширение поля fe, то определен гомоморфизм Вr . Его ядро, обозначаемое , состоит из классов алгебр, распадающихся над К. Конструкции скрещенных произведений с помощью систем факторов (см. [5]) приводят к когомологич. Интерпретации Б. г. Для любого нормального расширения K/k имеет место изоморфизм где — группа двумерных когомологий Галуа с коэффициентами в мультипликативной группе поля К. Более того, группа изоморфна , где — сепарабельное замыкание поля k. Сопоставление центральной простой алгебре ее класса в Б. г. осуществляется при помощи кограничного, оператора в когомологич. последовательности, соответствующей точной последовательности групп где и — линейная и проективная группы матриц порядка . Здесь группа интерпретируется как множество классов с точностью до k-изоморфизма центральных простых алгебр ранга над полем k, распадающихся над k, или как множество классов k-изоморфных Брауэра — Севери многообразий размерности , имеющих К- точку. Б. г. всегда является периодической группой. Порядок любого ее элемента делит число , где — ранг тела, представляющего этот элемент. Когомологич. интерпретация Б. г. позволяет рассматривать ее как группу классов центральных расширений группы Галуа сепарабельного замыкания при помощи группы . Обобщением понятия Б. г. является группа. Брауэра- Гротендика, определяемая аналогично Б. г. с заменой центральных простых алгебр на алгебры Адзумая (см. [7]). Лит.:[1]Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1960; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Серр Ж.-П., Когомологий Галуа, пер. с франц., М., 1968; [4] Фаддеев Д. К., "Вестник Ленингр. ун-та", 1957, № 7, в. 2, с. 45-51; [5] Чеботарев Н. Г., Введение в теорию алгебр, М.- Л., 1949; [6] Dеuring М., "Algebren", 2 Aufl., В., 1968, Bd 4; [7] Grothеndieсk A., в кн.: Dix exposes sur la cohomdlogie des schemax, Amst., 1968, p. 46-188. . В. А. Псковских.