Ботта Теорема Периодичности

Основная теорема К-теории, в простейшем виде утверждающая, что для любого (компактного) пространства Xсуществует изоморфизм между кольцами и . Более общо, если L — линейное комплексное расслоение над — проективизация расслоения , то кольцо представляет собой -алгебру с одной образующей [Н]и единственным соотношением здесь — образ расслоения Ев кольце , -расслоение Хопфа над . Этот факт равносилен существованию изоморфизма Тома в K-теории для комплексных векторных расслоений. В частности, Б. -т. п. впервые доказана P. Боттом [1] с использованием теории Морса и получила переформулировку в терминах K-теории [6]; также доказано утверждение, аналогичное Б. т. п., для вещественных расслоений. Б. т. п. устанавливает аакономерность свойства стабильного гомотопич. типа унитарной группы , состоящую в том, что — пространство петель на X,~ -слабая гомотопич. эквивалентность, в частности для i=0, 1, . . ., pi ,есть i-я гомотопич. группа; аналогично, для ортогональной группы О п: Лит.:[1] Воtt R., "Ann. math.", 1959, v. 70, p. 313-37; [2] Милнор Д ж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965; [3] Атья м., Лекция по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [4] Xьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [5] Мооrе I. С., On the periodicity theorem for complex vector bundles, Seminaire H. Cartan, 1959-60; [6] Atiуah M., Bott R., "Acta math.", 1964, v. 112, p. 229-47. А. Ф. Щекутьев. БOXHEPA ИНТЕГРАЛ — интеграл от функции со значениями в банаховом пространстве по скалярной мере. Б. и. принадлежит к так наз. сильным интегралам. Пусть — векторное пространство функций со значениями и банаховом пространстве X, заданных на пространстве со счетно аддитивной скалярной мерой на -алгебре подмножеств множества Е. Функция наз. простой, если Функция наз. сил к но измеримой, если существует последовательность простых функций и почти всюду относительно меры на . В этом случае скалярная функция является -измеримой. Для простой функции Функция наз. интегрируемой по Бохнеру, если она сильно измерима и если для любой аппроксимирующей последовательности простых функций Для такой функции интегралом Бохнера по множеству наз. где — характеристич. функция множества В, а предел понимается в смысле сильной сходимости в банаховом пространстве X. Этот предел существует и не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности простых функций. Критерий интегрируемости по Бохнеру: для того чтобы сильно измеримая функция была интегрируема по Бохнеру, необходимо и достаточно, чтобы норма этой функции была интегрируема, т. е. Множество функций, интегрируемых по Бохнеру, образует векторное подпространство пространства F, а Б. и. есть аддитивный и однородный оператор на этом подпространстве. Свойства Б. и.: 1) 2) Б. и. есть счетно аддитивная и абсолютно непрерывная функция множеств -алгебры , т. е. б) при равномерно по ; 3) если почти всюду относительно меры на и почти всюду относительно на В, причем , и 4) пространство полно относительно сходимости по норме: 5) если T-замкнутый линейный оператор из банахова пространства хв банахово пространство уи то в случае ограниченности Тусловие выполняется автоматически ([3] -[5]). Б.