Борсука Проблема

Одна из основных задач комбинаторной геометрии: существует ли для каждого ограниченного множества разбиение диаметра евклидова n-мерного пространства на не более чем подмножеств, диаметр каждого из к-рых меньше а? Б. п. была сформулирована К. Борсуком [1] в связи с невозможностью разбиения n-мерного симплекса и п- мерного шара из на пчастей меньшего диаметра. Б. п. положительно решается для случаев для случаев имеются частичные результаты. Напр., Б. п. положительно решается для каждого ограниченного гладкого выпуклого тела из . Доказано, что решение Б. п. сводится к случаю тел постоянной ширины. Если — наименьшее число частей диаметра, меньшего d, на к-рое разбивается множество , то для фигуры диаметра dравенство a(F) = 3 верно в том и только том случае, когда в существует единственная фигура постоянной ширины d, содержащая F(см. [3]). Для этот факт непосредственно не обобщается. Б. п. тесно примыкает к освещения задачам и к Хадвигера гипотезе, представляющей обобщение Б. п. на случай, когда заменяется конечномерным нормированным пространством. Лит.:[1] Borsuk К., "Fundam. math.", 1933, t. 20, p. 177-90; [2] Грюнбаум Б., Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел, пер. с англ., М., 1971; [3] Болтянский В. Г., "Colloq. math.", 1970, т. 21, № 2, 253-63. П. С. Солтан.