Бордизм

Бордантность,- термин, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах (почти во всех из них вместо Б. раньше говорили о кобордизмах; старая терминология тоже сохранилась) . Простейший вариант: два гладких замкнутых п- мерных многообразия бордантны (с о-ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное -мерное многообразие W("пленка"), край к-рого состоит из двух многообразий диффеоморфных, соответственно, посредством нек-рых диффеоморфизмов Совокупность многообразий, бордантных друг другу, наз. классами бордизмов, а тройку иногда наз. бордизмом [точнее было бы говорить о пятерке ]. Множество классов Б. n-мерных многообразий образует абелеву группу относительно несвязного объединения. Нулем в ней служит класс Б., состоящих из многообразий М, к-рые являются границей нек-рого многообразия W[формально говорят о тройке с пустым М 0; другие названия: М — ограничивающее многообразие, М — внутренне гомологично, или бордантно нулю]. Элементом обратным данному классу В., является сам этот класс (т. к. диффеоморфно границе прямого произведения ). Прямая сумма групп является коммутативным градуированным кольцом, умножение в к-ром индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом Б. точки. Более сложные варианты — Б. гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Напр., два ориентированных многообразия М 0 и Мориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причем "пленка" Wориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией Wна Na и N(как на частях края), переходит при диффеоморфизмах g0 и g, соответственно, в исходную ориентацию М и в ориентацию, противоположную исходной ориентации М 0. В этом случае говорят об ориентированных бордизм ах, а если надо подчеркнуть отличие от них Б. в предыдущем смысле, последние наз. неориентированными. Аналогично вводятся группы ориентированных Б. Wn и кольцо W* = еWn. Исторически первый пример — Б. оснащенных многообразий, введенный в 1938 Л. С. Понтрягииым, к-рый показал, что классификация этих Б. эквивалентна вычислению гомотопич. групп сфер и таким путем смог найти (подробное изложение его исследований см. в более поздней публикации [2], элементарное введение — в [4]). Неориентированные и ориентированные Б. были введены в 1951 — 53 В. А. Рохлиным (см. [3]), вычислившим и .для Ранее Л. С. Понтрягин [1] доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристич. числа (числа Штифеля — Уитни в неориентируемом случае, числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягина — в ориентируемом). (Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.) Использование в теории Б. современных методов алгебраич. топологии началось с вышедшей в 1954 работы Р. Тома (см. [5], [6]), переоткрывшего применительно к неориентированным и ориентированным Б. связь между Б. и нек-рыми гомотопич. задачами. Так, группа изоморфна группе с достаточно большим r; здесь — Тома пространство универсального векторного расслоения со структурной группой . Эта связь позволила Р. Тому полностью вычислить кольцо и существенно продвинуть изучение , впоследствии завершенное другими учеными. Напр., оказалось кольцом многочленов над полем вычетов mod 2 от образующих размерности , где пробегает все положительные числа, не равные ; известна геометрич. реализация этих образующих (т. е. указаны конкретные многообразия, классы Б. к-рых суть (см. [7]). Другие варианты Б. многообразия с дополнительной структурой — очень важные Б. квазикомплексных многообразий (наз. также унитарными Б.) (см. [8], [9]), Б. многообразий, на к-рых действует группа преобразований (см. [10]); имеются также варианты несколько иного рода (для кусочно линейных или топо-логич. многообразий, для комплексов Пуанкаре) и т. д. (см. [11]). Особое положение занимают бордизмы слоений и -бордизмы (ранее наз. -эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и, гомотопич. топологии [12]. Дальнейшее развитие теории Б. связано с группами бордизмов топологич. пространства X(короче, Б. пространства X, см. [13]). Они определяются для различных вариантов Б. (ниже приводится простейший случай). Сингулярным n-мерным (под) многообразием пространства Xназ. пара , где — замкнутое гладкое многообразие, — непрерывное отображение. Две такие пары ( М 0 , f0 ), ( М п, f) бордантны, если бордантны в обычном смысле и (в прежних обозначениях) существует такое непрерывное отображение (Если отождествить то можно просто сказать, что отображение h индуцирует заданные отображения М 0 и Мв Х). Классы Б. сингулярных многообразий пространства X образуют n-мерную группу Б. (X).этого пространства (групповая операция порождена объединением многообразий). Если X- многообразие размерности , то элементы наглядно представляются подмногообразиями, как и соответствующие "пленки", в этом отношении Б. пространства Xблизки к первоначальным попыткам введения гомологии. Если X- точка, то сводится к прежнему Отображению j : XЮ Y соответствуют гомоморфизмы порожденные переходом от сингулярных многообразий ( М, f) к (M, jf ). Функтор, сопоставляющий каждому пространству Xгруппы и отображению — отображения , является обобщенной теорией гомологии. В данном случае она сводится к обычным гомологиям, а именно, для любого клеточного полиэдра X (справа стоит тензорное произведение градуированных модулей над ), но для других Б. (ориентированных и т. д.) это, вообще говоря, не так. Многие обобщенные теории гомологии могут быть получены посредством так наз. Б. с особенностями (см.[14]). Наряду с Б. пространства Xсуществуют двойственные им обобщенные когомологии,. Введение этих функторов обобщенных гомологии и когомологии сделало желательным то изменение терминологии, о к-ром говорилось в начале статьи: термин "кобордизм" резервируется для обобщенных когомологии, двойственных Б. Лит.: [1] Понтрягин Л. С.,"Матем. сб.", 1947, т. 21, № 2, о. 233-84; [2] его же, Гладкие многообразия и их применение в теории гомотетий, 2 изд., М., 1976; [3] РохлинВ. А., "Успехи матем. наук", 1959, т. 14, № 4, с. 3-20; [4] Милнор Д ж., Уоллес А., Дифференциальная топология, пер. с англ., М., 1972; [5] Том Р., в кн.: "Расслоенные пространства и их приложения" (сб. переводов), М., 1958, с. 293- 351; [6] Милнор Д ж.. "Математика", 1964, т. 9, № 4, с. 3-40; [7] Dold A., "Math. Z.", 1956, Bd 65, S. 25-35; [8] Milnor J., "Amer. J. math.", 1960, v. 82, p. 505-21; [9] Новиков С. П., "Матем. сб.", 1962, т. 57 [99], с. 406- 42;[10] Коннер П., Флойд Э., Гладкие Периодические отображения, пер. с англ., М., 1969; [11] Стонг Р., Заметки по теории кобордизмов, пер. с англ., М., 1973; [12] Милнор Дж., Теорема об h-кобордизме, пер. с англ., М., 1969; [13] Atiуah М., "Ргос. Carab. Phil. Soc.", 1961, v. 57, pt 2, p. 200-8; [14] Baas N.. "Math. Scand.", 1973, v. 33, №2, p. 279-302, 302-13. Д. В. Аносов, М. И. Войцеховский.