Боголюбова Теорема

1) Б. т. "острие клина"-обобщение принципа аналитического продолжения, особенно для случая многих комплексных переменных; получена Н. Н. Боголюбовым в 1956 при обосновании дисперсионных соотношений в квантовой теории поля (см. [1], Дополнение А). Современная формулировка: пусть функция , голоморфна в открытом множестве где — такой открытый конус в Rn с вершиной в нуле, что открытое множество содержится в шаре и для любой основной функции из существует не зависящий от способа стремления тогда допускает аналитич. родолжение в область где — комплексная окрестность множества , причем — постоянная, зависящая только от конуса — расстояние от точки до границы множества . Б. т. "острие клина" остается верной и при . В этом случае и при нек-рых предположениях о росте функции получается первоначальная формулировка Н. Н. Боголюбова (см. [1]; роль конуса играл световой конус в ). Существуют различные доказательства и обобщения этой теоремы (см. [2]). Особо следует отметить обобщения на гиперфункции (см. [4]) и голоморфные коциклы (см. [3]). Б. т. "острие клина" находит широкие применения в аксиоматич. квантовой теории поля, в теория дифференциальных уравнений с частными производными, в теории граничных значений голоморфных функций (особенно функций многих комплексных переменных). При этом полезным дополнением к теореме является теорема о С- выпуклой оболочке [2]; пусть, в условиях Б. т. "острие клина", где — выпуклый острый конус; тогда где — голоморфности оболочка области, — действительное сечение области есть — выпуклая оболочка множества , т. е. наименьшее открытое множество, содержащее и обладающее тем свойством, что если точки и из могут быть соединены С-подобной кривой, целиком лежащей в то и все гомотопные ей кривые лежат в Лит.:[1] Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К., Вопросы теории дисперсионных соотношений, М., 1958; [2] Владимиров B.C., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [3] Маrtinеau A., Distributions et valeurs au bord des fonctions holomorphes — "Theory of Distributions. Proc. of an intern. Summer Institute Held", Lisboa, 1964, p. 193-326; [4] Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations, Lectures Notes in Mathematics, 287, В.-Hdlb.-N. Y., 1973. В. С. Владимиров. 2) Б. т. об особенностях типа 1/q2: теорема статистич. механики об асимптотич. поведении Грина функций в пределе малых импульсов (qЮ0) для бозе- и ферми-систем с градиентно-инвариантным потенциалом взаимодействия. Установлена Н. Н. Боголюбовым в 1961 (см. [1]). Для систем многих взаимодействующих частиц в случае вырождения состояния статистич. равновесия для двувременных температурных коммутаторных функций Грина в энергетич. представлении справедливо неравенство: где — операторы уничтожения и рождения частицы с импульсом Возникающие (при ), в соответствии с Б. т., у функций Грина особенности отвечают элементарным возбуждениям в исследуемой физич. системе. Б. т. предсказывает также асимптотич. поведение при малых импульсах макроскопич. характеристик системы, связанных с функциями Грина известными формулами. Согласно (1), напр., для сверхтекучих бозе- (или ферми-) систем плотность непрерывного распределения частиц по импульсам при стремится к бесконечности не медленнее, чем . В этом случае вырождение состояния статистич. равновесия связано с законом сохранения полного числа частиц, т. е. с инвариантностью гамильтониана системы относительно градиентных преобразований. Но аналогичные особенности появляются у соответствующих функций Грина и, следовательно, у корреляционных фулкций, характеризующих системы с другими видами вырождения, обусловленными наличием нек-рых аддитивных законов сохранения, т. е. инвариантностью гамильтониана системы относительно нек-рых групп преобразований. Б. т. приводит к целому ряду нетривиальных физич. следствий, связанных, напр., с вопросами специфич. упорядочения в системах многих взаимодействующих частиц, спонтанное нарушение симметрии в к-рых проявляется совершенно различным образом: модель Гейзенберга с ферро-, антиферро- и ферримагнитным упорядочиванием, системы сверхтекучего и сверхпроводящего типа, системы с кристаллич. упорядочением. Возникновение у функций Грина особенностей при qЮ0 связывается с наличием в энергетич. спектре системы ветви коллективных возбуждений "бесщелевого" типа, что отвечает при определенном ограничении на потенциал взаимодействия спонтанному нарушению симметрии. Характер энергетич. спектра элементарных возбуждений может быть исследован с помощью неравенства для построенного на функциях Грина типа (1) массового оператора. Для бозе-систем при конечной температуре это неравенство имеет вид: При формула (2) дает обобщение (на конечные температуры) так наз. формулы Гугенгольца — Пайнса. В предположении регулярности массового оператора в окрестности точки из (2) можно получить "бесщелевой" характер (акустич. типа) энергетич. спектра возбужденных состояний. В случае же нулевых температур (q = 0) неравенство (1) позволяет установить связь между плотностью непрерывного распределения частиц по импульсам и минимальной энергией возбужденного состояния. Соотношения типа (1) должны быть справедливы и в квантовой теории поля, где в случае спонтанного нарушения симметрии (при переходе от одного основного состояния к другому) возникает [4], [5] бесконечное число частиц нулевой массы (Голдстоуна теорема), интерпретируемых как особенности при малых импульсах в квантово-полевых функциях Грина. Б. т. перенесена на релятивистскую квантово-полевую модель со спонтанным нарушением симметрии в [6]. Лит.:[1] Боголюбов Н. Н., Избранные труды, т. 3, Киев, 1971; [2] Садовников Б. И., Федянин В. К., "Теор. и матем. физ.", 1973, т. 16, в. 3, с. 368-93; [3] Боголюбов Н. Н. (мл.), Садовников Б. И., Некоторые вопросы статистической механики, М., 1975; [4] GoldstoneJ., "Nuovo Cim.", 1961, v. 19, p. 154-64; [5] Со1dstоne J., Salam A., Weinberg S., "Phis. Rev.", 1962, v. 127, p. 965-70; [6] Казанский А. К., "Теор. и матем. физ.", 1975, т. 22, в. 3, с. 418-21. А. М. Курбатов.