Биортогональная Система

Пара множеств элементов (топологического) векторного пространства Xи (топологического) сопряженного пространства соответственно, удовлетворяющая условиям: если , и отлично от нуля при (здесь — каноническая билинейная форма, спаривающая Xи X*). Напр., Б. с. является б а зис Шаудера и множество, образованное коэффициентами разложения хпо нему. В гильбертовом пространстве Нсо скалярным произведением и базисом множество , удовлетворяющее условиям: где при и при также является базисом; он наз. базисом, дуальным к , и , поскольку , множества образуют Б. с. В частности, базис в Нназ. ортонормированным, если он дуален самому себе. Существуют, однако, Б. с., не образующие даже слабого базиса,- таково, Hang., множество функций e i k x, в пространстве непрерывных периодич. функций, наделенном нормой М. И. Войцеховский. ВИПЛАНАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — действительное (2n+1)-мерное проективное пространство, в к-ром выделены две непересекающиеся n-мерные плоскости, действительные (Б. п. гиперболич. типа) или комплексно сопряженнее (Б. п. эллиптич. типа), а фундаментальная группа состоит из проективных преобразований, переводящих каждую из этих плоскостей в себя. Указанные две n-мерные плоскости наз. абсолютными плоскостями. Линейная конгруэнция действительных прямых, пересекающих каждую из абсолютных плоскостей, наз. абсолютной конгруэнцией. Эта конгруэнция служит действительной моделью n-мерного проективного пространства над алгеброй двойных или комплексных чисел. При n=1 Б. п. наз. биаксиальным пространством. Совокупность свойств геометрич. образов Б. п., сохраняющихся при преобразованиях фундаментальной группы, составляет содержание бипланарной геометрии. Наиболее подробно изучена биаксиальная геометрия (n=1), в к-рой развита теория кривых, поверхностей и комплексов прямых. А. П. Широков.