Билинейное Отображение

Билинейная функция,- отображение f произведения левого унитарного A-модуля Vи правого унитарного В- модуля -бимодуль Н, удовлетворяющее следующим условиям: здесь — произвольно выбранные элементы, — кольца с единицей. Тензорное произведение над имеет естественную структуру -бимодуля. Пусть канонич. отображение, тогда любое Б. о. f индуцирует гомоморфизм — бимодулей для к-рого Если и коммутативно, то множество всех Б. о. является -модулем относительно обычным образом определяемых операций сложения и умножения на элементы из A, а соответствие '.устанавливает канонич. изоморфизм A-модуля и A-модуля всех A-линейных отображений в Н. Пусть — свободные модули с базисами и , соответственно. Б. о. f полностью определяется заданием , для всех поскольку для любых конечных подмножеств имеет место формула И обратно, при произвольном выборе элементов формула (*), где определяет Б. о. в Н. Если I и J конечны, матрица называется матрицей Б. о. f относительно данных базисов. Пусть задано Б. о. Элементы наз. ортогональными относительно f, если . Подмножества. и наз. ортогональными относительно f, если всякий ортогонален всякому . Если X — подмодуль в V, то — подмодуль в W, наз. ортогональным подмодулем, или ортогональным дополнением, к X. Аналогично определяется ортогональное дополнение к подмодулю Y в W. Отображение f наз. вырожденным справа (соответственно слева), если (соответственно ). Подмодули и наз. соответственно левым и правым ядром Б. о. f. Если и , то f наз. невырожденным, ав противном случае — вырожденным. Отображение f наз. нулевым, если и . Пусть — семейство левых A-модулей, — семейство правых B-модулей, — Б. о. в Н, V — прямая сумма A-модулей , а — прямая сумма В-модулей Wi. Отображение , определяемое правилом является Б. о. и наз. прямой суммой отображений . Эта сумма ортогональна, т. е. подмодуль ортогонален подмодулю Wj относительно f при . Б. о. f невырождено тогда и только тогда, когда невырождено для всех ; при этом В случае А=В =Н Б. о. наз. билинейной формой. Лит.:[1]Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968. В. Л. Попов.