Билинейная Форма

На произведении модулей — билинейное отображение -левый унитарный -модуль, W — правый унитарный А-модуль, А — кольцо с единицей, рассматриваемое также как ( А, А )-бимодуль. Если V= W, то говорят, что f есть Б. ф. на модуле V, а также, что Vнаделен метрич. структурой с помощью f. Определения, касающиеся билинейных отображений, имеют смысл, в частности, для Б. ф. Так, говорят о матрице Б. ф. относительно выбранных базисов в Vи W, об ортогональности элементов и подмодулей относительно Б. ф.,. об ортогональных прямых суммах, невырожденности и т. д. Напр., если А — поле и — конечномерное векторное пространство над Ас базисом e1 ..., е п, то для векторов и значение формы где . Иногда полином от переменных отождествляют с f и называют билинейной формой на V. Если кольцо Акоммутативно, то Б. ф. есть частный случай полуторалинейной формы, (с тождественным антиавтоморфизмом) . Пусть кольцо Акоммутативно. Б. ф. f на А- модуле Vназ. симметрической (соответственно антисимметрической, или кососимметрической), если для всех будет (соответственно )и наз, знакопеременной, если . Знакопеременная Б. ф. антисимметрична, обратное верно только, если для любого из следует . Если имеет конечный базис, то симметрические (соответственно антисимметрические, знакопеременные) формы на и только они имеют в этом базисе симметрическую (соответственно антисимметрическую, знакопеременную) матрицу. Отношение ортогональности относительно симметрич. или антисимметрич. формы на Vсимметрично . Б. ф. на Vназ. изометричной Б. ф. на W, если существует такой изоморфизм А-модулей что для любых . Этот изоморфизм наз. изометрией форм, а если — метрическим автоморфизмом модуля V(или автоморфизмом формы f). Метрич. автоморфизмы модуля образуют группу (группу автоморфизмов формы f), примеры таких групп — ортогональная группа, симплектич. группа. Пусть А — тело, — Б. ф. на , пространства конечномерны над А, тогда и это число наз. рангом . Если Vконечномерно, а невырождена, то и для каждого базиса в Vсуществует дуальный относительно fбазис в W, определяемый условиями ( — символы Кронекера). Пусть, кроме того, , тогда подмодули и наз. соответственно правым и левым ядрами f; для симметрич. и антисимметрия, форм правое и левое ядра совпадают и наз. просто ядром формы. Пусть симметрич. или антпсимметрич. Б. ф. на V. Элемент , для к-рого , наз. изотропным; подмодуль наз. изотропным, если , и вполне изотропным, если . Вполне изотропные подмодули играют важную роль в изучении структуры Б. ф. (см. Витта разложение, Витта теорема, Витта кольцо). О строении Б. ф. см. также Квадратичная форма. Пусть Акоммутативно и пусть есть A-модуль всех A-линейных отображений Vв W,a — A-модуль всех Б. ф. на . Для всякой Б. ф. f на и всякого формула определяет A-линейную форму на W. Соответственно, для формула определяет A-линейную форму на V. Отображение есть элемент из Аналогично определяется отображение из Отображения осуществляют изоморфизмы A-модулей и Б. ф. f наз. неособой слева (справа), если — изоморфизм; если f неособая и слева и справа, то она наз. неособой, в противном случае f наз. особой. Невырожденная Б. ф. может быть особой. Для свободных модулей одинаковой конечной размерности Б. ф. fна является неособой тогда и только тогда, когда определитель матрицы f относительно любых базисов в — обратимый элемент кольца A. Следующие изоморфизмы и задаваемые неособой Б. ф. f, определяются формулами и Эндоморфизмы наз. сопряженными относительно f, если Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. c англ., М., 1969. В. Л. Попов.