Бибербаха Гипотеза

Предположение, высказанное в 1916 Л. Бибербахом [1]: для всех функций классa S, т. е. для функций , регулярных и однолистных в круге и имеющих в нем разложение справедлива оценка причем только для функций Кёбе где — действительное число. Л. Бибербах доказал справедливость гипотезы только для . Задача нахождения точной оценки коэффициентов в классе S — частный случай коэффициентов проблемы. Б. г. простой формулировкой и глубиной привлекла внимание многих математиков и способствовала развитию различных методов геометрич. теории функций комплексного переменного. К настоящему времени (1977) справедливость Б. г. установлена для Для n=3 она была впервые доказана К. Лёвнером ( ) в 1923 параметрич. методом (см. Параметрических представлений метод);в дальнейшем появились и другие доказательства оценки , при к-рых использовались вариационный метод, параметрич. метод, метод экстремальных метрик. Для справедливость Б. г. была установлена впервые в 1955 посредством одновременного использования вариационного и. параметрич. методов. В 1960 с помощью условий однолистности Грунского оценка была получена значительно проще. Эта оценка была получена также методом вариаций и геометрич. рассуждениями; в другом случае — с использованием неравенств Грунского в матричной форме. Для справедливость Б. г. доказана в 1968 с помощью неравенств Грунского, для — в 1972 вариационным методом. Среди других результатов, направленных на доказательства справедливости Б. г., интересны следующие. У. Хейман [4] получил ряд результатов по асимптотич. поведению коэффициентов при функций, p-листных в среднем в , в частности для класса S. Он доказал, что существует предел и что со знаком равенства только для функций Кёбе. Ряд работ посвящен локальной гипотезе Бибербаха, т. е. доказательству того, что функция Кебе дает , по крайней мере для тех функций класса , к-рые близки к ней в соответствующей топологии (см. Однолистная функция). Установлено, что для каждого существует достаточно малое такое, что для функции , удовлетворяющей условию справедлива оценка причем только для . Оценка коэффициентов для всех , точная относительно порядка зависимости от , была впервые получена в 1925 Дж. Литлвудом (J. Littlewood) сведением оценки коэффициентов к оценке среднеинтегрального модуля. Более точные оценки были получены И. Е. Базилевичем , И. М. Милиным Лучшая к настоящему времени (1977) оценка получена в 1972 (см. [7]): Обзор работ по Б. г. см. в [2], с. 50, 187-90, 571-79, [3], с. 67-121; [9]. Лит.:[1] Bieberbach L., "Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl.", (916, S. 940-55; [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [3] Ми лин И. М., Однолистные функции и ортонормированные системы, M.,1971;[4] Hayman W. К., "J. London Math. Soc.", 1965, v. 40, № 159, p. 385-406; [5] Оzawa M., "Kodai Math. Semin. Repts", 1969, v. 21, № 1-2, p. 97-132; [6] Pederson R. N., Schiffer М. М., "Arch. Bation. Mech. and Analysis", 1972, v. 4,5, к. 3, p. 161-93; [7] Fitzgerald С. Н., "Arch. Ration. Mech. and Analysis", 1972, v. 46, №5, p. 356-68; [8] Широков Н. А., "Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР", 1972, т. 24, с. 182-200; [9] Базилевич И. Е., в кн.: Математика в СССР за 40 лет. 1917-1957, т. 1, М., 1959, с. 444 — 72. Е. Г. Голузина.