Бесселя Уравнение

Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка: илц в самосопряженной форме: Число v наз. индексом Б. у.; величины в общем случае могут принимать комплексные значения. После подстановки получается приведенная форма уравнения (1): Б. у. представляет собой частный случай вырожденного гипергеометрического уравнения;уравнение (2) подстановкой приводится к Уиттекера уравнению. Точка является для уравнения (1) слабо особой, а точка -сильно особой, и поэтому Б. у. не принадлежит классу Фукса уравнений. Первым систематическое изучение решений уравнения (1) предпринял Ф. Бессель [1], но еще раньше они встречались в работах Д. Бернулли (D. Bernoulli), Л. Эйлера (L. Euler), Ж. Лагранжа (J. Lagrange). Б. у. возникает при разделении переменных во многих задачах математич. физики (см. [2]), в частности в краевых задачах теории потенциала для цилиндрич. области. Решения Б. у. наз. цилиндрическими функциями (или бесселевыми функциями). Среди них выделяют цилиндрич. функции 1-го рода (Бесселя функции) , цилиндрич. функции 2-го рода ( Вебера функции, или Неймана функции) , цилиндрич. функции 3-го рода ( Ганкеля функции) Если индекс фиксирован, то все эти функции — аналитич. функции комплексного аргумента ; для всех этих функций, за исключением функций целого индекса, точка является ветвления точкой. Если же фиксирован аргумент , то все эти функции являются однозначными целыми функциями комплексного индекса (см. [3]). Если индекс не равен целому числу, то общее решение уравнения (1) можно записать в виде где — произвольные постоянные. При произвольном индексе любые две из функций линейно независимы и могут служить фундаментальной системой решений уравнения (1). Поэтому общее решение уравнения (1) представляется, в частности, в следующих формах: С уравнением (1) тесно связаны: уравнение переходящее в (1) при подстановке и имеющее своей фундаментальной системой решений модифицированные цилиндрические функции (бесселевы функции мнимого аргумента), и уравнение переходящее в (1) при подстановке и имеющее своей фундаментальной системой решений Кельвина функции. Многие другие линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка (напр., Эйри уравнение]преобразованием неизвестной функции и независимой переменной также приводятся к уравнению (1); решение ряда линейных уравнений высших порядков удается записать через бесселевы функции (см. [4]). Подстановка приводит уравнение (1) к Лапласа уравнению: это позволяет представлять решения уравнения (1) через контурные интегралы на комплексной плоскости. В приложениях часто возникают задачи на собственные значения для уравнения где фиксировано, а — параметр. Уравнение (3) . на отрезке с краевыми условиями: дает пример задачи с дискретным спектром (собственные значения определяются из условия через нули функции Бесселя). Уравнение (3) с краевым условием: представляет собой задачу с непрерывным спектром (собственные значения ). Неоднородное уравнение Бес селя имеет частное решение Для правой части специальных видов решения уравнения (4) изучены более детально. Напр., при уравнению (4) удовлетворяет Ломмеля функция, при — Струве функция,. при — Ангера функция, при — Вебера функция. Имеются линейные уравнения высших порядков, свойства решений к-рых аналогичны свойствам бесселевых функций. Общее уравнение типа Бесселя п- го порядка имеет вид а его решение зависит от п-1 индексов. В частности, уравнение типа Бесселя 3-го порядка (имеющее решение с двумя индексами ) можно представить в форме: Лит.:[1] Вessel F., "Abhandl. der Koniclichen Akad. Wiss. Berlin", 1824, S. 1-52; [2] Грей Э., Мэтьюз Г., Функции Бесселя и их приложение к физике и механике, пер. с англ., 2 изд., М., 1953; [3] Ватсон. Г.; Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1-2, М., 1949; Г4] Цамке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальны) уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976. Н. X. Розов.