Бесконечного Порядка Уравнение

В комплексной области — дифференциальное уравнение вида где — искомая функция комплексного переменного — заданные .функции. Наиболее полно изучены .Б. п. у. с постоянными коэффициентами: Если .характеристич. функция есть целая функция экспоненциального типа , то левая часть имеет смысл при , когда — функция, аналитическая в круге . При необходимо предположить, что — целая функция. Отличие от уравнения конечного порядка состоит уже в том, что решение может иметь особенности, даже когда — целая функция. Если и есть целая функция, то область существования любого решения выпукла [1]. Общее решение слагается из частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Пусть — корни характеристич. уравнения и — соответственно их кратности. Однородное уравнение имеет элементарные частные решения . Решению однородного уравнения можно отнести по определенному правилу ряд из элементарных решений. Если характеристич. функция имеет правильный рост (в нек-ром определенном смысле), то найдется . подпоследовательность частичных сумм этого ряда, сходящаяся к (см. [4]). В общем случае функцию можно аппроксимировать с любой точностью конечными линейными комбинациями из элементарных решений [5]. В случае Б. п. у. может иметь неаналитические решения [2]. При нек-рых условиях эти решения образуют квазианалитический класс функций с менее сильными ограничениями на рост производных, чем в классич. теореме Данжуа — Карлемана. Б. п. у. имеют различные применения: для изучения последовательностей полиномов Дирихле, полноты систем аналитических функций, единственности аналитических и гармонических функций, разрешимости таких проблем анализа, как обобщенная проблема квазианалитичности, обобщенная проблема единственности моментов и т. д. Лит.:[1] Ро1уa G., "Nachr. Ges. Wiss. Gottingen", 1927, S. 187-95; [2] Va1irоn G., "Ann. sclent. Ecole norm, super.", 1929, t. 46, № 1, p. 25-53; (3] Леонтьев А. Ф., "Тр. четвертого всесоюзн. матем. съезда", Л., 1964, т. 2, с. 648-60: [4] его же, "Матем. сб.", 1966, т. 70, № 1, с. 132-44; [5] Красичко в-Терновский И. Ф., "Матем. сб.", 1972, т. 88, № 3, с. 331 — 52. А. Ф. Леонтьев.