Бесконечное Произведение

Выражение содержащее бесконечное множество числовых или функциональных сомножителей, каждый из к-рых отличен от нуля. Б. п. наз. сходящимся, если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений при . 3начением Б. п. наз. этот предел и пишут Б. п. сходится тогда и только тогда, если сходится ряд Тем самым исследование сходимости Б. п. сводится к исследованию сходимости рядов. Б. п. (*) наз. абсолютно сходящимся, если сходится Б. п. для абсолютной сходимости Б. п. (*) необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходился ряд Б. п. обладает переместительным свойством (т. е. его значение не зависит от порядка сомножителей) в том и только в том случае, если оно сходится абсолютно. Б. п. (*) с функциональными сомножителями определенными, напр., в области D плоскости комплексного переменного z, сходится равномерно в D, если последовательность частичных произведений сходится в Dравномерно к пределу, отличному от нуля. В приложениях, однако, весьма важен случай, когда нек-рые сомножители имеют нули в Dтакие, что на любом компакте их лежит не более конечного числа. Понятие сходимости обобщается при этом следующим образом: Б. п. (*) наз. (абсолютно, равномерно) сходящимся внутри D, если для любого компакта существует такой номер , что все сомножители на kпри и последовательность частичных произведений сходится на К(абсолютно, равномерно) к пределу, отличному от нуля. Если все сомножители — аналитич. функции на D и Б. п. сходится равномерно внутри D, то оно представляет в D аналитич. функцию. Б. п. впервые встретилось у Ф. Виета (F. Viete, 1593) при рассмотрении задачи о квадратуре круга, а именно он получил аналитич. редставление числа p, построив следующее Б. п.: Другое представление числа пвосходит к Дж. Валлису (J. Wallis, 1665): Б. п. с функциональными сомножителями появились у Л. Эйлера (L. Euler, 1742), напр.: Б. п.- основной аппарат для представления аналитич. функций с явным указанием их нулей; они являются для целых функций аналогом разложения многочлена на множители. См. также Бляшке произведение, Вейерштрасса теорема о бесконечном произведении, Каноническое произведение. Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976; [3] Бицадзе А.