Бесконечно Малых Исчисление

Термин, ранее объединявший различные разделы математич. анализа, связанные с понятием бесконечно малой функции. Хотя "метод бесконечно малых" (в той или иной форме) с успехом применялся учеными Древней Греции и средневековой Европы для решения задач геометрии и естествознания, точные определения основных понятий теории бесконечно малых функций сложились только в 19 в. Для понимания значения этого метода важно заметить, что практич. интерес представляют не Б. м. и. сами по себе, а те случаи, в к-рых рассмотрение Б. м. и. приводит к величинам конечным. В истории математики основное значение имели трп типа такого рода задач. 1) Простейшие задачи древнегреческих математиков на исчерпывания метод, в к-рых бесконечно малые используются лишь для доказательства равенства двух заранее заданных величин (или двух отношений заранее заданных величин). 2) Более сложные задачи на метод исчерпывания, в к-рых искомая конечная величина получается в виде предела суммы неограниченно возрастающего числа бесконечно малых величин. Эти задачи впоследствии привели к созданию интегрального исчисления. 3) Задачи, в к-рых конечная величина получается в виде предела отношения, бесконечно малых величин. Они послужили материалов для создания дифференциального исчисления. Изобретение метода исчерпывания приписывается Евдоксу Книдскому (4 в. до н. э.). Во всяком случае, он проходит в качестве основного приема доказательства через всю 12-ю книгу "Начал" Евклида (3 в. до н. э.). В современной форме логич. схема рассуждений Евклида может быть записана так: если все отношения равны между собой и имеют постоянное значение и если при обе разности бесконечно малы, то Напр., для сравнения площадей двух кругов Евклид вписывает в каждый из них по квадрату и доказывает, что площадь этого квадрата превосходит половину площади круга: остающиеся четыре сегмента (рис. 1) составляют вместе меньше половины площади круга; дополнив квадрат до правильного восьмиугольника, он обнаруживает, что остаток составляет уже меньше четверти круга, затем восьмиугольник дополняется до правильного шестнадцатиугольника, причем оставшиеся шестнадцать сегментов составляют в сумме уже меньше одной восьмой доли площади круга и т. д. Таким образом, площадь круга постепенно "исчерпывается" при переходе к вписанным многоугольникам со все большим числом сторон. Так как в двух кругах площади соответствующих многоугольников относятся как квадраты радиусов, то Евклид заключает отсюда, при помощи доказательства от противного, что то же самое отношение имеют и площади кругов. Более широкое и свободное употребление бесконечно малых наблюдается у Архимеда (3 в. до н. э.). В своих соч. "О коноидах и сфероидах" и "О спиралях" Архимед систематически пользуется при вычислении площадей и объемов методом, к-рый до своей идее вполне аналогичен современному определению интеграла. Вот как, напр., Архимед определяет площадь первого витка спирали (рис. 2), к-рая наз. теперь "архимедовой" и к-рая в полярных координатах имеет уравнение В рассматриваемую фигуру Sвписывается фигура, состоящая из круговых секторов с углом при вершине (эти секторы для случая изображены на рис. 3 заштрихованными), а вокруг описывается фигура, состоящая из аналогичных круговых секторов (на рис. 3 изображены без штриховки). Легко видеть, что в обоих случаях площадь k-го сектора Из построения ясно, что площадь S заключена в пределах где Так как то при любом Архимед выражает последнее соотношение в геометрия, форме: при любом где К — площадь круга, изображенного на рис. 2. Из сопоставления (1) и (2) и того обстоятельства, что разность при является бесконечно малой, Архимед делает вывод, что Конец изложенного рассуждения показывает, каким образом Архимедом был развит и усовершенствован метод исчерпывания Евдокса. Начало же этого рассуждения показывает, что Архимед владел и приемами, к-рые были отнесены выше ко второй группе и к-рые но своему идейному замыслу соответствуют современному интегральному исчислению. При помощи интегрального исчисления рассматриваемая площадь вычисляется как Входящий в эту формулу интеграл, по определению, есть предел сумм вида где В частном случае, когда при получается архимедова сумма , а при — архимедова сумма . Следует специально отметить, что при выборе (3) точек деления jk архимедовы суммы и совпадают с Дарбу суммами, для к-рых и в общем случае гарантировано выполнение неравенства (1). Таким образом, Архимед для своей частной задачи проделывает весь ряд рассуждений, свойственных интегральному исчислению, и притом в его логически законченной форме (точные оценки сверху и снизу при помощи сумм Дарбу), разработанной, в качестве общей теории лишь во 2-й пол.. 19 в. Аналогично Архимед поступает и в ряде других задач на вычисление площадей и объемов. Отсюда следует, что к концу своего развития древнегреческая математика подошла и к решению задач второй из намеченных выше групп. Следует, однако, здесь же отметить ii принципиальное отличие всего характера мышления математиков древности от стиля мышления математиков нового времени. В рассмотренной выше в виде примера задаче Архимед не вычисляет а берет, не указывая откуда, величину и доказывает равенство от противного, устанавливая, что в силу (1), (2) и бесконечной малости разности неравенство привело бы к противоречию. Греческие математики не только не разработали к.-л. общих правил вычисления пределов, но и вообще не сформулировали лежащего по существу в основе их приемов, понятия предела (даже общее назв. "метод исчерпывания" для их приемов возникло лишь в новое время). Тем более, древняя наука не создала ничего подобного современному алгоритму интегрального исчисления, благодаря к-рому теперь совсем не обращаются при вычислении нового интеграла к определению интеграла в качестве предела сумм, а пользуются значительно более простыми в практич. употреблении правилами интегрирования функций различных специальных классов. Из соч. Архимеда (особенно из "Послания Эратосфену") можно усмотреть, что его логически отточенному методу оценки площадей и объемов при помощи сумм возрастающего числа неограниченно убывающих (т. е. бесконечно малых в современном смысле слова) слагаемых предшествовал более примитивный, но более наглядный метод, восходящий, по утверждению Архимеда, к Демокриту (4 в. до н. э.). Архимед указывает, в частности, что Демокрит раньше Евдокса определил (хотя и без строгого обоснования своих результатов) объем пирамиды. Для Евклида и Евдокса основную трудность при выводе объема пирамиды представляло доказательство того факта, что объемы двух пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями равны. Трудность эта преодолевалась в "Началах" Евклида применением метода исчерпывания. Судя по указаниям Архимеда, демокритов "атомистический" метрд доказательства равенства объемов двух пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями (рис. 4) можно представить себе так: из соображений подобия вытекает, что площади сечений, проведенных на равной высоте в наших пирамидах, равны; объемы пирамид воспринимаются просто как "суммы" этих площадей, что и позволяет сразу, исходя из равенства соответствующих членов двух сумм, заключить о равенстве самих сумм. В соч. Архимеда дается много примеров применения этого метода к решению более сложных задач. Архимед считал такой метод нестрогим, но очень ценным с эвристической стороны (т. е. для первоначального получения новых результатов, к-рые потом должны быть обоснованы более строго) и был в этом с современной точки зрения, конечно, прав, так как метод Демокрита является лишь не выдерживающей строгой критики попыткой заменить процесс предельного перехода несостоятельной метафизич. гипотезой о возможности получения объемов суммированием площадей. Послание Архимеда к Эратосфену, получившее краткое назв. "Эфодикон" (руководство), много комментировалось и цитировалось авторамп эллинистич. эпохи, но не дошло до европейских математиков эпохи создания современной высшей математики, к-рые в отношении необычайно простого атомистич. метода рассуждений Демокрита в лучшем случае должны были довольствоваться довольно смутными литературными указаниями других источников (текст "Эфодикона" был вновь 'открыт лишь в 1906). Тем не менее этот метод получил в 17 в. блестящее развитие в работах И. Кеплера (J. Kepler) и Б. Кавалье-ри (В. Cavalieri). И. Кеплер в своей "Стереометрии винных бочек" (1615) определяет объем 92 тел вращения. Если бы он следовал педантично методу изложения Архимеда при каждом из этих определений, то его труд разросся бы до необъятных размеров. Метод И. Кеплера можно пояснить на простом примере. Определение площади круга И. Кеплер основывает на следующем рассуждении. Круг разбивается на секторы с общей вершиной в центре (рис. 5); чем меньше каждый сектор, тем ближе он подходит к треугольнику, основанием к-рого можно считать дугу сектора; его площадь, следовательно, равна длине его дуги, умноженной на половину радиуса; если суммировать эти площади, то получится, что площадь круга равна длине его окружности, умноженной на половину радиуса. С такой же простотой И. Кеплер вычисляет объем шара и других тел вращения; но эта простота порождает сомнения (к-рых он не скрывает) и иногда приводит его к ошибкам. Чтобы устранить эти сомнения, И. Кеплер подтверждает свое рассуждение относительно площади круга такого рода соображениями: составляющие секторы можно сделать настолько малыми, что их основаниями становятся точки, и число секторов тогда становится бесконечным; каждый из этих бесконечно малых секторов уже вовсе не отличается от такого же треугольника. Конечно, это рассуждение ничего не спасает, потому что со сведением основания к точке исчезает сектор, и треугольник превращается просто в радиус. Его существенная особенность заключается в том, что здесь И. Кеплер более или менее сознательно склоняется к статич. разложению круга на бесконечно большое число актуально беско нечно малых секторов — радиусов, а не к потенциальной бесконечности непрерывно возрастающего числа непрерывно убывающих слагаемых; в этом виде неограниченно продолжающийся процесс исчезает. Было бы неправильно сказать, что И. Кеплер твердо стоял на точке зрения актуальной бесконечности: он слишком находился еще под влиянием Архимеда, основные сочинения к-рого ему были хорошо известны; но его позиция не тверда, его воззрения в этой области эклектичны. Они представляют собой переходную ступень к взглядам Б. Кавальери. В 1635 Б. Кавальери опубликовал. трактат "Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного". Задача сочинения та же, к-рую ставил себе Архимед: вычисление площадей и объемов геометрич. фигур произвольной формы. С этой целью Б. Кавальери рассматривает плоскую фигуру как совокупность параллельных прямолинейных отрезков от одной крайней касательной до другой (рис. 6), тело — как совокупность его параллельных плоских сечений. Эти отрезки и плоские сечения суть те "неделимые", по к-рым назван метод Б. Кавальери (см. Неделимых метод). Измерение площадей, объемов совершается путем сравнения неделимых двух фигур. Напр., площадь эллипса Б. Кавальери вычисляет с помощью следующего рассуждения (рис. 7). На малой оси эллипса (26) описываем окружность и проводим хорды (неделимые), параллельные большой оси (2a). Из определения эллипса нетрудно вывести, что каждый неделимый элемент эллипса относится к соответствующему неделимому круга, как аотносится к b, то есть АА': ВВ' = а: b. Следовательно, совокупность всех неделимых эллипса (т. е. площадь эллипса) относится к совокупности неделимых круга (kплощади круга p b2), как а: b;поэтому площадь эллипса равна pab. — Те же приемы Б. Кавальери применяет к сравнению объемов; доказательство равновеликости пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты, у Б. Кавальери заканчивается там, где у Архимеда оно только начинается. Общность и простота применения приемов привели Б. Кавальери к результатам, до к-рых не дошел Архимед. Но упрощенность его методов не давала гарантии правильности всех полученных результатов; поэтому он каждое вычисление проводит несколькими различными путями. Если в отношении строгости логич. обоснования своих результатов Б. Кавальери стоит несравненно ниже Архимеда, то зато он превзошел Архимеда, а с ним и всех математиков древнего мира не только в отношении числа решенных им специальных задач на определение площадей и объемов, но и в отношении понимания дальнейших перспектив развития учения о бесконечно малых. Не ограничиваясь решением отдельных задач, он в геометрической и нестрогой форме получает, по существу, ряд общих формул интегрального исчисления. Например, его утверждение, что сумма квадратов неделимых, на которые разбит параллелограмм на рис. 8, равна утроенной сумме квадратов неделимых, из к-рых состоит на том же рис. каждый из двух составляющих параллелограмм треугольников, есть по существу не что иное, как формула В аналогичной форме Б. Кавальери выражает равенство для степеней n до девятой включительно. В том же 17 в. внимание математиков привлекает и третья из перечисленных выше групп задач. После создания Р . Декартом (R. Descartes) аналитич. еометрии естественно возникла задача определения углового коэффициента касательной к кривой , т. е. определения производной. Приблизительно одновременно развитие механики привело к необходимости определять мгновенную скорость произвольного движения точки, т. е. к той же задаче определения производной. Так как теории пределов и даже отчетливого наглядного'понимания предельного перехода еще не было, то производную пытались получить как отношение статических актуально бесконечно малых приращений dy и dx. Современная концепция бесконечно малых как переменных величин, стремящихся к нулю, а производной как предела отношения бесконечно малых приращений была намечена (хотя и не вполне последовательно) И. Ньютоном (I. Newton, 17 в.), однако укрепилась только после О. Коши (A. Cauchy, 19 в.). Современное понимание дифференциала как главной части приращения по существу восходит к Ж. Лагранжу (J. Lagrange, 18 в.) и было окончательно закреплено О. Коши, к-рый дал и точное определение интеграла как предела суммы. Для развитого дифференциального или интегрального исчисления характерно, что после строгого обоснования своих основных понятий при помощи предельного перехода они дают возможность решать разнообразнейшие задачи при помощи простого алгоритма чисто ал-гебраич. характера (в том смысле, что сам этот алгоритм уже не содержит в явном виде предельных переходов). Благодаря этому современные способы вычисления с дифференциалами и интегралами успешно соединяют в себе строгую логич. обоснованность с простотой и наглядностью. Лит.: [1] Архимед, Сочинения, М., 1962; [2] Кеплер И., Новая стереометрия винных бочек..., пер. с нем., М.- Л., 1935; [3] Кавальери Б., Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного, [пер. с итал.], т. 1, М.-Л., 1940. БСЭ-2.