Бертини Теоремы

Две теоремы о свойствах линейных систем на алгебраических многообразиях, тгржаадлежащие Э. Бертини (см. [1]). Пусть — алгебраич. многообразие над алгебраически замкнутым полем kхарактеристики — линейная система без неподвижных компонент на — образ многообразия при отображении с помощью L. Следующие два утверждения известны как 1-я и 2-я Б. т. 1) Если то почти все дивизоры из линейной системы L(т. е. все, кроме замкнутого подмножества в пространстве параметров , отличного от ) являются неприводимыми и приведенными алгебраич. многообразиями. 2) Почти все дивизоры из не имеют особых точек вне базисных точек линейной системы и особых точек многообразия . Обе Б. т. неверны, если характеристика поля не равна 0. Условия, при к-рых Б. т. верны и для случая конечной характеристики поля, изучены в [3] и [6]. В случае 1-я Б. т. заменяется следующим утверждением: почти все слои отображения являются неприводимыми и приведенными, если поле функций алгебраически замкнуто внутри поля при вложении . В случае, когда характеристика поля kконечна, соответствующая теорема верна при условии сепарабельности расширения (см. [3], [6]). Для линейной системы гиперплоских сечений Б. т. верны без всяких ограничений на характеристику поля [5]. Лит.:[1] Веrtini E., Intrqduzione alia geometria proiettiva degli iperspazi, 2 ed., Messina, 1923; [2] Алгебраические поверхности, М., 1965; [3] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [4] Akizuki Y., "J. Math. Soc. Japan", 1951, v. 3, № 1, p. 170-80; 15] Nakai Y., "Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto A", 1950, v. 26, № 2, p. 185- 87; [6] Zariski O., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1944, v. 56, № 1, p. 130-40. В. А. Псковских.