Бернулли Многочлены

Многочлены вида где Bs- Бернулли числа. Так, для n=0, 1, 2, 3 Б. м. можно вычислять по рекуррентной формуле Для натурального Б. м. впервые рассматривались Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713) в связи с вычислением суммы При произвольном хБ. м. впервые изучал Л. Эйлер (L. Euler) (см. [1], с. 300). Термин "Б. м." ввел И. Л. Раабе (J. L. Raabe, 1851). Основное свойство: Б. м. удовлетворяют разностному уравнению и поэтому играют в исчислении конечных разностей ту же роль, что и степенные функции в дифференциальном исчислении. Б. м. принадлежат к классу Аппеля многочленов, т. е. удовлетворяют условию: и тесно связаны с Эйлера многочленами: Производящая функция Б. м. имеет вид: Для Б. м. справедливо разложение в Фурье ряд для п=1 и для Б. м. удовлетворяют соотношениям: (теорема умножения), (теорема, дополнения), (теорема сложения аргументов). Б. м. используются для выражения остаточного члена Эйлера — Маклорена формулы суммирования и для разложения функций в ряды. Из свойств Б. м. выва-дятся многие важные свойства чисел Бернулли: Б. м. используются для интегрального представления дифференцируемых периодпч. функций . и играют важную роль в теории приближения таких функций тригонометрия, полиномами и др. агрегатами, см. Фавара задача. Известны различного рода обобщения Б. м. Н. Э. Нёрлундом введены обобщенные Б. м. порядка v и степени п: (нек-рые частные случаи этих многочленов рассматривались ранее В. Г. Имшенецким, Н. Я. Сониным и Д. М. Синцовым). Пусть и тогда последовательно определяются как полиномиальные решения степени празностного уравнения где (обобщенные числа Бернулли) находятся из рекуррентного соотношения Лит.: [1] Эйлер Л., Дифференциальное исчисление, пер. с лат., М.-Л., 1949; [2] Nоr1und N. Е., Vorlesungen uber Differenzenrechnung, В., 1924; [3]Бейтмен Г., Эрдей и А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; [4] Лихин В. В., в сб.: Историко-математические исследования, в. 12, М., 1959, с. 59-134. Ю. Н. Субботин.