Бёрнсайда Проблема

1) Б. С сер. 30-х гг. стала постепенно выкристаллизовываться мысль о том, что для теории конечных групп важно, собственно, знать ответ на следующий вопрос: будет ли порядок любой конечной группы с dобразующими и тождественным соотношением ограничен сверху нек-рым натуральным числом зависящим только от dи n? Это так наз. ослабленная Б. п. Она решена положительно для любого простого показателя (см. [13]). Доказано, таким образом, существование универсальной конечной р- группы порядка факторгруппам к-рой изоморфны все другие конечные р-группы с dобразующими и соотношением . В случае конечности имеет место совпадение: . Сопоставление результатов из [10] и из [13] приводит к существованию при достаточно большом рконечно порожденной бесконечной простой р-группы показателя р. Было доказано, что . Для при имеются лишь нек-рые оценки снизу, связанные с соответствующими оценками для класса нильпотентности группы По-видимому, не может быть линейной функцией р. Что более существенно, растет неограниченно вместе с d(см. [14], [15]). Вопрос о существовании при начиная с и 9, открыт (1977). В то же время из результатов, полученных в [6] и [13], а также из теоремы о разрешимости групп нечетного порядка (см. Бернсайда проблема о конечных группах) и нек-рых классификационных фактов о простых группах вытекает существование для всех п, свободных от квадратов. В первоначальном решении [8] неограниченной Б. п. и ослабленной Б. п. [13] для простого показателя риспользован выход в теорию алгебр, в первом случае — на основе признака бесконечномерности алгебры, а во втором — на основе одного тождества в Ли алгебрах, являющегося аналогом тождества в группах (см. [16], [17]). Проблемы бернсайдовского типа, помимо уже упомянутых, получили весьма широкое распространение (см. [8], [9]). Лит.:[1] Burnside W., "Quart. J. Pure and Appl. Math.", 1902, v. 33, p. 230-38: [2] Levi F. W., Van der Waerden B. L., "Abh. Math. Sem. in Univ., Hamburg", 1932, Bd 9, S. 154-58; [3] Санов И. Н., "Уч. зап. ЛГУ. Сер. матем.", 1940, в. 10, с. 166-70; [4] Bayes A. J., Каutskу J., w ams1eу Т. W., в кн.: Ргос. Second internet, conf. theory.of groups, Canberra, 1973, p. 82-89; [5] Ha11 M., "Proc. Nat. Acad. Soi. U. S. A.", 1957, v. 43, p. 751-53; [6] Hall P h., Higman G., "Proc. London Math. Soc.", 1956, V. 6, № 21, p. 1-42; [7] Новиков П. С. "Докл. АН СССР", 1959, т. 127, № 4, с. 749-52; [8] Голод Е, С., в кн.: Труды Международного конгресса математиков, М., 1968, с. 284-89; [9] Алёшин С. В., "Матем. заметки", 1972, т. 11, № 3, с. 319-28; [10] Новиков П. С., Адян С. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1968, т. 32, № 1, с. 212-44, № 3, с. 709-31; [11] Адян С. И., Проблема Бернсайда и тождества в группах, М., 1975; [12] Шмидт О. Ю., Избранные труды. Математика, М., 1959, с. 298-300; [13] Кострикин.