Бэра Теорема

1) Б. т. о полных пространствах: любая счетная система открытых и всюду плотных в данном полном метрическом пространстве множеств имеет непустое, п даже всюду плотное в этом пространстве пересечение. Эквивалентная формулировка: полное метрич. пространство не может быть представлено в виде счетной суммы своих нигде не плотных подмножеств. Установлена Р. Бэром [1]. Лит.: [1] Вairе R., "Ann. di mat.", 1899, (3), t. 3, p. 67. П. С. Александров. 2) Б. т. о полунепрерывных функциях: пусть А — подмножество метрич. пространства Ми f: ; тогда условие: для любого числа амножество (соответственно ) замкнуто в А, — необходимо и достаточно для того, чтобы была полунепрерывна сверху (соответственно снизу) на А. Доказана Р. Бэром для (см. [1]). Из Б. т. следует, что полунепрерывные функции входят в первый Бэра класс. Имеет место более сильное утверждение: полунепрерывная сверху (снизу) функция, не принимающая значение есть предел монотонно невозрастающей (неубывающей) последовательности непрерывных функций. Лит.:[1] Бэр Р., Теория разрывных функций, пер. с франц., М.- Л., 1932; [2] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957. И. А. Виноградова.