Банаха — Штейнхауза Теорема

Общее название ряда результатов о топологич. свойствах пространства непрерывных линейных отображений одного линейного топологич. пространства в другое. Пусть , F — локально выпуклые линейные топологич. пространства, где — бочечное пространство, или — линейные топологич. пространства, причем — Бэра пространство;тогда: 1) любое ограниченное в топологии простой сходимости подмножество пространства непрерывных линейных отображений пространства в равностепенно непрерывно (принцип равномерной ограниченности), 2) если фильтр в пространстве содержит множество, ограниченное в топологии простой сходимости, и сходится в топологии простой сходимости к нек-рому отображению vпространства в , то — непрерывное линейное отображение в , и фильтр сходится к равномерно на каждом компактном подмножестве пространства Е(см. [2, 3]). Этот общий результат позволяет уточнить классич. результаты С. Банаха и X. Штейнхауза (см. [1]): пусть — банаховы пространства, — подмножество второй категории в Е;тогда: 1) если и конечен для всех , то если — последовательность непрерывных линейных отображений в и последовательность сходится в для всех , то сходится к непрерывному линейному отображению пространства в равномерно на любом компактном подмножестве пространства . Лит.:[1] Banach S., Steinhaus H., "Fundam. math.", 1927, t. 9, p. 50-61; [2] Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [3] Шефер X., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971. А. И. Штерн.