Банаха — Мазура Функционал

Банаха — Мазура оператор, — концепция вычислимого функционала (оператора), предложенная С. Банахом (S. Banach) и С. Мазуром (см. [1]) и трактующая вычислимость функционала (оператора), действующего из множества М 1 в множество М 2 , как его свойство переводить всякую вычислимую последовательность элементов М 1 в вычислимую последовательность элементов М 2 (см. Вычислимая функция). Пусть R — множество всех одноместных общерекурсивных функций. Функционал Ф, определенный на Rи принимающий натуральные значения, наз. вычислимым по Банаху- Мазур у, или Б.- М. ф., если для всякой двухместной общерекурсивной функции существует общерекурсивная функция такая, что (здесь рассматривается как функция от при каждом фиксированном п). Всякий общерекурспвный функционал и всюду определенный эффективный функционал (см. Конструктивное метрическое пространство).являются Б.- М. ф. С другой стороны, был построен пример Б.- М. ф., не совпадающего ни с каким общерекурсивным, а следовательно, и ни с каким эффективным функционалами (см. [2]). Важнейшим свойством Б.- М. ф. является их непрерывность (см. [1]): значения таких функционалов на любой общерекурсивной функции определяются лишь конечным числом значений этой функции. Вышеописанная концепция вычислимости распространяется на функции действительного переменного. Пусть С — множество вычислимых последовательностей вычислимых действительных чисел; каждая последовательность задается парой общерекурсивных функций и таких, что при всех Функция действительного переменного ф наз. вычислимой по Банаху- Мазуру (множество таких функций обозначим ), если для любой последовательности из последовательность также принадлежит С. Каждая функция непрерывна во всех вычислимых точках (см. [1]; таким образом, напр., sgn ). Вопрос о том, являются ли все функции из вычислимо непрерывными, остается открытым (1977). Множество оказывается замкнутым относительно ряда используемых в анализе операций, что позволяет успешно развивать на его базе вычислимый анализ (см. [1]). Лит.:[1] Мazur S., Computable analysis, Warsz., 1963; [2] Friedberg R. M., "Bull. Acad. polon. sci. Ser. sci. math., astron. et phys.", 1958, t. 6, № 1, p. 1-5; [3] Маркoв А. А., "Тр. Матем. ин-та. АН СССР", 1958, т. 52, с. 315-48; [4] Роджерс X., Теория рекурсивных функции и эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972. Б. А. Кушнер.