Астрофизики Математические Задачи

Круг задач теоретич. астрофизики, в к-рых широко используются математич. методы исследования. Основной предмет теоретич. астрофизики составляет истолкование результатов наблюдений с целью изучения строения объектов, наблюдаемых во Вселенной, а также исследования происходящих в них физич. процессов. Наряду с этим в А. м. з. развиваются нек-рые общие математич. вопросы, имеющие, кроме астрофизики, существенное значение для ряда других разделов физики и для математики. Наиболее яркий пример влияния А. м. з. на развитие математики представляет введенный впервые в А. м. 3. так наз. инвариантности принцип[1], к-рый получил применение при решении обширного класса задач математич. физики, а также нек-рых задач вероятностей теории. Одной из главных проблем астрофизики является изучение строения и эволюции звезд, поскольку основная масса вещества во Вселенной сосредоточена в звездах. Обычно отдельно рассматривают внутреннее строение звезд и строение звездш. х атмосфер. Задачи теории внутреннего строения формулируются в виде дифференциальных уравнений, вытекающих из условий механич. и энергетич. равновесия звезды [2]. Условие меканич. равновесия звезды выражает равенство силы тяготения, направленной внутрь звезды, и силы газового и светового давления, направленной наружу. Условие энергетич. равновесия отражает равенство количества энергии, вырабатываемого в нек-ром объеме звезды, и количества энергии, к-рое из этого объема выходят. Кроме условий равновесия, считаются известными уравнения состояния вещества звезды, коэффициент поглощения излучения и закон выделения энергии в результате термоядерных реакций в зависимости от плотности вещества и температуры при заданном химич. составе. Вследствие сложности уравнений для их решения обычно применяются численные методы. Иногда в качестве граничных условий используют результаты теории звездных атмосфер, что приводит к более надежным выводам. Указанные уравнения равновесия звезды в ряде частных случаев сводятся к Эмдена уравнению с условиями и при . Для значений решения уравнения (1) выражаются через элементарные функции. Уравнение (1) применимо, напр., в тех областях звезды, где перенос энергии осуществляется главным образом конвективными потоками, а перенос лучистой энергии сравнительно мал. Трудность развития теории внутреннего строения звезд состоит еще и в том, что звездные недра ненаблюдаемы. Обычно сопоставляют с данными наблюдений только вычисленные интегральные характеристики звезды такие, как масса, радиус и полное количество энергии, излучаемое звездой в единицу времени. Использование статистич. материала, относящегося к указанным характеристикам, позволяет строить гипотезы о возможных путях эволюции звезд. Теория звездных атмосфер основывается на исследовании процессов переноса излучения (см. Переноса излучения теория). Энергия, вырабатываемая во внутренних областях звезды, после сложного процесса переноса через атмосферу, выходит наружу. Решение уравнения переноса осуществляется здесь при условии лучистого равновесия, выражающем тот факт, что каждый элемент объема атмосферы излучает столько энергии, сколько поглощает. Кроме того, обычно делается предположение о существовании локального термодинамич. равновесия. Результаты решения уравнения переноса при указанных условиях позволяют теоретически построить спектр звезды, а сопоставление с результатами наблюдений дает возможность судить о строении звездной атмосферы и о происходящих в ней процессах. В частности, на исследовании линейчатых спектров звезды основаны способы определения химич. состава звездных атмосфер. Процессы переноса излучения происходят также в туманностях и межзвездной среде. Часто процесс переноса состоит в многократном рассеянии света при его прохождении через вещество. Солнечный свет после рассеяний в планетной атмосфере несет с собой информацию о ее строении и физич. свойствах. В атмосферах планет и в пылевых туманностях происходит анизотропное рассеяние света. Теория переноса излучения является одним из важнейших разделов теоретич. астрофизики. Эта теория получила большое развитие в А. м. з. (см. [3], [4]) в связи с решением указанных задач астрофизики. Ее методы находят также различные применения в других разделах физики, например в геофизике (см. Геофизики математические задачи), в теории переноса нейтронов и при расчетах свечения плазмы. Наиболее часто встречается случай, когда излучение проходит через плоский слой вещества. Звездные и планетные атмосферы представляют пример такого рода, поскольку их геометрич. толщина в большинстве случаев мала по сравнению с радиусом. В этом случае для изотропного рассеяния уравнение переноса излучения приводится к интегральному уравнению где определяет распределение источников излучения в слое, а — искомое поле излучения. Ядро K(x) интегрального уравнения и параметр А, включают закон взаимодействия вещества с излучением, а х 0 есть толщина среды, выраженная в единицах длины свободного пробега излучения. Исследование интегральных уравнений типа (2) составляет одну из основных математич. задач теории переноса излучения. В А. м. з. развит общий метод получения точных аналитич. решений таких уравнений [4]. В частном случае, когда а также — первая интегральная показательная функция, уравнение (2) наз. уравнением Мплна. Его решение (см. Милна проблема).при нек-рых дополнительных условиях дает распределение температуры в атмосфере звезды. В более сложных задачах (анизотропное рассеяние, рассеяние света с учетом поляризации, рассеяние света в среде произвольной формы и т. п.) вместо искомой функции возникают функции, зависящие, кроме координат, также от направления и от других величин, характеризующих поле излучения в данной точке. Для определения этих функций используются соответствующие системы интегральных уравнений, обобщающие уравнение (2). Указанные методы служат для определения полного решения задачи, что позволяет найти как поле излучения внутри среды, так и характеристики выходящего из среды излучения. Для применений теории часто необходимо знать лишь выходящее излучение. Было показано, что определение характеристик выходящего из среды излучения можно сделать непосредственно, без предварительного нахождения полного решения. Это часто значительно упрощает задачу и осуществляется либо с использованием интегрального уравнения (2), либо путем применения принципа инвариантности. Другой путь заключается в представлении заданного слоя как суммы двух слоев и в установлении связей между характеристиками излучения, выходящего из всей среды, и характеристиками излучения на границе двух слоев. Рассмотренные возможности используются также в теории переноса нейтронов и составляют альбедный метод. Наряду с теорией излучения видное место в астрофизике занимает применение методов газодинамики [5] и электродинамики [6] к исследованию звезд и межзвездной среды. Эти методы необходимы для изучения движении газовых масс в звездах и туманностях. Гидродинамич. эффекты (см. Гидродинамики математические задачи).в атмосферах Солнца и других звезд, расширение газовых облаков и их столкновения друг с другом и с более разреженной межзвездной средой, возникающие при этом ударные волны и турбулентные движения в межзвездной среде — некоторые из рассматриваемых здесь проблем. Одной из самых существенных особенностей межзвездной газодинамики является необходимость учета взаимодействия ионизированного газа с магнитимый полями. Это взаимодействие оказывает влияние как на движение газа, так и на изменение конфигурации и плотности энергии магнитного поля. При движении газа его частицы остаются все время как бы "приклеенными") к магнитной силовой линии, двигаясь вдоль нее либо увлекая ее за собой при движении поперек поля. Говорят также, что силовые линии "вморожены" в вещество (см. Вмороженности интеграл). Уравнения движения межзвездной магнитной газодинамики включают: уравнение непрерывности (закон сохранения массы); уравнение индукции магнитного поля, выражающее принции вмороженности; уравнение притока энергии межзвездного излучения (закон сохранения энергии); уравнение, выражающее закон сохранения импульса. При составлении системы используются уравнения электродинамики (Максвелла уравнения).и гидродинамики. Решение этой системы весьма осложняется нелинейностью уравнений. Обычно исследуют упрощенные варианты, напр, одномерные и автомодельные движения (см. Магнитной гидродинамики математические задачи). Большое значение для развития астрофизики имеют результаты, получаемые радиоастрономич. методами. Поскольку излучение радиоволн происходит обычно в ионизированном газе (плазме), то возникают задачи об определении свойств плазмы для условий, осуществляющихся в звездах и межзвездной среде [7]. Наиболее полно поведение плазмы описывается кинетическими уравнениями. Отличие кинетич. уравнения для плазмы от кинетического Больцмана уравнения для обычного газа состоит в том, что кулоновское взаимодействие заряженных частиц плазмы распространяется на сравнительно большие расстояния, тогда как в газе из нейтральных атомов и молекул силы взаимодействия существенны лишь при непосредственных столкновениях частиц. Изучение распределения вещества в Галактике затруднено поглощением света, производимым межзвездными пылевыми частицами. Этот эффект проявляется главным образом в направлениях, близких к Млечному Пути, поскольку слой межзвездной пыли сконцентрирован вблизи плоскости Галактики. Уменьшение числа наблюдаемых галактик при приближении направления наблюдения к плоскости Галактики вызвано тем же эффектом поглощения света. Однако поглощающее вещество распределено не равномерно, а в основном в виде отдельных облаков различной величины, случайным образом распределенных в пространстве. Поэтому возникает задача о статистич. изучении видимого распределения яркости Млечного Пути и видимого распределения галактик. Указанные вопросы подробно исследованы [1] в теории флуктуации яркости Млечного Пути. При выводе уравнений был использован принцип инвариантности. Математич. вопросы теории флуктуации яркости близки к теории нек-рых типов случайных процессов. В простейшем варианте считается, что вся экваториальная плоскость Галактики с равномерной плотностью заполнена до бесконечности звездами и поглощающими свет облаками. Если принять долю пропускаемого света qодинаковой для всех облаков и ввести g(u)du — вероятность того, что безразмерная яркость изаключена в пределах от идо u+du, то для определения функции g(u) получается уравнение Уравнения аналогичного типа возникают и при рассмотрении более общих моделей. Для анализа результатов наблюдений часто используют моменты исследуемых величин; поэтому решение исходных сложных уравнений не всегда необходимо. Получаемые из исходных уравнений соотношения для моментов достаточно просто и быстро приводят к цели. Исследование структуры, динамики и эволюции звездных систем составляет предмет статистич. механики звездных систем. В ней изучаются системы тел, рассматриваемых обычно как материальные точки и взаимодействующих по закону тяготения. Важнейшими системами являются звездные скопления, галактики и скопления галактик. Указанные задачи входят в круг вопросов, исследуемых в физич. кинетике. Однако, в отличие от изучения свойств обычного газа, при рассмотрении звездного газа встречаются весьма существенные специфич. особенности. Во-первых, для звездного газа нет состояния полного статистич. равновесия. Во-вторых, важно то, что газ находится в собственном гравитационном поле, к-рое должно быть определено наряду с другими искомыми величинами. Наконец, в-третьих, взаимодействие между звездами отличается от взаимодействия между молекулами газа тем, что относится к разряду дальнодействия, аналогичного кулоновскому взаимодействию заряженных частиц в плазме. Указанные особенности весьма усложняют теоретич. рассмотрение. Правда, при исследовании движения звезд в Галактике можно в первом приближении пренебречь взаимодействием благодаря тому, что время релаксации оказывается большим по сравнению синтервалом времени, определяющим сроки эволюции Вселенной (см. [1], [8]). Для звездных скоплений время релаксации сравнительно невелико, и в этом случае учет взаимодействий звезд необходим. Здесь обычно используют аналогию гравитационного и кулоновского взаимодействий и применяют кинетич. уравнение Ландау. Это уравнение получено для плазмы с использованием приближения Фоккера — Планка (см. Фоккера — Планка уравнение).при представлении процесса диффузии в пространстве скоростей. Уравнение Ландау не может дать достаточно строгого описания процесса эволюции звездной системы, связанного с неизбежной потерей звезд. Поэтому при исследовании эволюции звездных скоплений применяют более общие кинетич. уравнения. Одним из важнейших этапов астрофизич. исследований является получение наиболее полной и надежной информации об изучаемых объектах на основе сопоставления результатов наблюдений и теории. Обычно обсуждается рассчитанная теоретич. модель и делается проверка правильности предположений, положенных в основу ее построения. В нек-рых случаях удается избежать модельных представлений и непосредственно связать наблюдаемые характеристики с искомыми, вводя лишь минимальное количество исходных обоснованных допущений. Классич. примером такого подхода служит задача о нахождении распределения пространственной плотности звезд по распределению звезд в проекции (см. [8]). Связь между наблюдаемым и пространственным распределением плотности получается в форме интегрального уравнения Абеля, решение которого приводит к цели. Это же уравнение получается н в ряде других задач, например при изучении распределения атомов по высоте в хромосфере и электронов в короне Солнца. Во всех таких случаях делается лишь одно предположение о сферической симметрии. Более сложное интегральное уравнение получается при выводе функции распределения пространственных скоростей звезд из распределения наблюдаемых лучевых скоростей. Здесь восстанавливается функция в трехмерном пространстве по значениям интегралов от нее по всевозможным плоскостям. Рассмотренные примеры относятся к совокупности вопросов, составляющих обратные задачи. При решении обратных задач в астрофизике возникают значительные трудности и неопределенности как математич. характера, так и в получении необходимых результатов наблюдений. Математич. вопросы связаны, в частности, с корректностью постановки задач. При решении многих проблем астрофизики ценным оказывается использование метода регуляризации решения некорректных задач. Пример некорректной обратной задачи в А. м. з. представляет нахождение оптич. свойств атмосфер планет по измеренным фотометрич. характеристикам. При многократном рассеянии света в атмосфере н отражении от поверхности планеты происходит потеря информации о величинах, определяющих искомые оптич. свойства атмосферы. Для получения однозначного решения приходится вводить значительные упрощающие допущения, сильно ограничивающие возможности исследования. В А. м. з. обратная задача часто связана с решением интегрального уравнения 1-го рода, к-рое определяет переход от функции , представляющей известные результаты наблюдений некоторой величины, к искомой функции , дающей истинные значения величины. Результаты наблюдений по различным причинам бывают искажены, что выражается количественно функцией , входящей в уравнение (4) и обычно известной для данной задачи. Напр., функции и определяют измеренный и истинный профили спектральной линии, а функция соответствует наблюдаемому профилю расширения идеально монохроматич. спектральной линии, обусловленному свойствами спектрографа. Много обратных задач возникает в радиоастрономии как при обработке результатов наблюдений, так и при истолковании полученных данных. Переход от наблюдаемого распределения температуры к истинному в одномерном случае осуществляется с использованием уравнения (4), где функция определяет свойство антенны радиотелескопа и наз. ее диаграммой. Среди радиоастрономич. исследований важное место занимает использование радиолинии с волной 21 см, возникающей при переходе между подуровнями сверхтонкой структуры атома водорода. Изучение межзвездного радиоизлучения на этой длине волны дает ценные сведения о структуре Галактики и ее вращении, о распределении в ней межзвездного газа, а также позволяет судить о строении центральной части Галактики, недоступной для оптич. методов. Наблюдаемые в различных направлениях профили линии имеют сложный вид вследствие влияния ряда факторов (тепловое движение атомов, хаотич. движение межзвездного газа, вращение Галактики и т. п.). Поэтому при переходе от измеренных характеристик к искомым возникает ряд своеобразных обратных задач. Для освобождения наблюдаемого профиля от замывающего влияния тепловых и хаотических макроскопич. движений газа применяется уравнение (4), где функция (х).описывает распределение скоростей. После указанной процедуры находятся система-тнч. скорости газа и другие величины. Лит.: [1] Амбарцумян В. А., Научные труды, т. 1, Ер., I960; [2] Шварцшильд М., Строение и эволюция звезд, пер. с англ., М., 1961; [3] Соболев В. В., Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет, М., 1956; [4] его же, Курс теоретической астрофизики, М., 1367; [5] Каплан С. А., Межзвездная газодинамика, М., 1958; [6] Пикельнер С. Б., Основы космической электродинамики, 2 изд., М., 1966; [7] Спитцер Л., Физика полностью ионизованного газа, пер. с англ., М., 1965: [8] Чандрасекар С., Принципы звездной динамики, пер. с англ., М., 1948. И.