Артиново Кольцо

Артипово справа кольцо, — кольцо, удовлетворяющее условию минимальности для правых идеалов, т. е. кольцо, в к-ром любое непустое частично упорядоченное по включению множество Мправых идеалов имеет минимальный элемент (см. [1]) — такой правый идеал из М, к-рый не содержит строго никакого правого идеала пз М. Другими словами, А. к.- это кольцо, являющееся правым арти-новшм модулем над самим собой. Кольцо Аесть А. к. тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей правых идеалов, т. е. для любой убывающей последовательности правых идеалов кольца Асуществует такое натуральное число т, что Аналогично определяется артиново слева кольцо. Всякое ассоциативное А. к. с единицей нётерово справа (см. Нётерово кольцо). Всякая конечномерная алгебра над полем является А. к. Наиболее полно изучены свойства А. к. в классе альтернативных колец и особенно в классе ассоциативных колец (см. Альтернативные кольца и алгебры, Ассоциативные кольца и алгебры). Джекобсона радикал ассоциативного А. к. ннльпотен-тен п содержит всякий односторонний нильидеал. Кольцо Атогда и только тогда является простым ассоциативным А. к., когда оно изоморфно кольцу всех матриц нек-рого конечного порядка над нек-рым ассоциативным телом. В классе альтернативных колец каждое простое А. к. либо ассоциативно, либо есть Кэли — Диксона алгебра над своим центром, являющимся в этом случае полем. Строение ассоциативных А. к. с нулевым радикалом Джекобсона описано (см. Полупростое кольцо). Имеется вариант этой теоремы в случае альтернативных колец. Для ассоциативных колец с ненулевым радикалом Джекобсона развита достаточно далеко идущая структурная теория (см. [1], [2]). Весьма интенсивно изучается ряд классов А. к.- квазифробениусовы кольца, однородные кольца, сбалансированные кольца. Лит.:[1] Artin E., Nesbitt С., Thrall R., Rings with Minimum condition, Michigan, 1944; [2] Джекобcон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [3] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965, М., 1967. с. 133-80; [4] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1968, М., 1970, с. 9 — 56. К. А. Жевлаков.