Арифметическая Функция

Теоретико-числовая функция,- комплекснозначная функция, областью определения к-рой может служить одно из множеств: множество натуральных чисел, множество целых рациональных чисел, множество целых идеалов фиксированного алгебранч. числового поля, решетка в многомерном координатном пространстве и т. п. Это — А. ф. в широком смысле. Однако часто под А. ф. понимается функция указанного типа, обладающая нек-рымн специальными арифметич. свойствами. Наиболее употребительные А. ф. имеют традиционные символич. обозначения: — Эйлера функция, или — делителей число, — Мёбиуса функция, — Манголъдта функция, — сумма делителей числа п. К А. ф. относят также целую часть числа и дробную часть числа . Изучаются А. ф., выражающие число решений уравнения; напр., — число решений в целых числах . уравнения в Гольдбаха проблеме: — число решений в простых числах уравнения Другие А. ф. выражают количество чисел с к.-л. условиями; напр., функция — число простых чисел, не превосходящих х, характеризует распределение простых чисел; — число не превосходящих хпростых чисел в арифметич. прогрессии Со свойствами простых чисел связаны также Чебышева функции: — сумма натуральных логарифмов простых чисел до и В алгебраич. теории чисел рассматриваются обобщения названных А. ф. натурального аргумента. Напр., в алгебраич. поле Кстепени пдля целого идеала вводится функция Эйлера — число классов вычетов по идеалу , взаимно простых с А. ф. возникают и используются при изучении свойств чисел. Однако теория А. ф. представляет и самостоятельный интерес. Закономерность изменения А.