Аппроксимация Периодическими Преобразованиями

Один из методов в эргодической теории. Любой автоморфизм Тпространства Лебега Xс мерой может быть получен как предел периодич. автоморфизмов в естественной для пространства всех автоморфизмов топологии, слабой или равномерной (см. [1]). При количественной характеристике скорости аппроксимации наряду с автоморфизмами рассматривают инвариантные относительно конечные измеримые разбиения X, т. е. разбиения ц пространства Xна конечное число непересекающихся измеримых множеств которые автоморфизм переводит друг в друга. Ье-личина оценивает близость относительно разбиения ; здесь — симметрическая разность: При фиксированном можно подобрать такие и (с указанными выше свойствами), что оудет сколь угодно мало (см. [1]). варианты автоморфизма Твозникают при рассмотрении такой бесконечной последовательности что для любого измеримого множества Аимеется последовательность множеств , целиком состоящая из нек-рых и аппроксимирующая Ав том смысле, что ("разбиения сходятся к разбиению на точки"). Если при этом где — заданная монотонная последовательность, стремящаяся к нулю, то говорят, что ^допускает А. п. п. I рода со скоростью ; если, сверх того, циклически переставляет множества то говорят о циклической А. п. п. Другие варианты см. в [2], [6], [7]. При определенной скорости аппроксимации те или иные свойства периодпч. автоморфизмов влияют на свойства предельного автоморфизма Т. Напр., если Тдопускает циклич. А. п. п. со скоростью с/n, то при это гарантирует эргодичность Т, при — отсутствие у Тперемешивания, а при — простоту спектра соответствующего унитарного оператора сдвига. Нек-рые свойства Тмогут быть охарактеризованы в терминах скорости аппроксимации. Напр., его энтропия равна нижней грани тех с, для к-рых Тдопускает А. п. п. I рода со скоростью (см. [2], [7]). А. п. п. применялась при исследовании ряда простых конкретных примеров (см. [2]), включая гладкие потоки на двумерных поверхностях (см., напр., [8]). При ее помощи был построен ряд динамич. систем с неожиданными метрич. свойствами (см. [2], [6], [7]) или с неожиданным сочетанием метрич. свойств с дифференциальными (см. [3], [4]). Утверждение о плотности периодич. автоморфизмов в , снабженном слабой топологией, может быть существенно усилено: для любой монотонной последовательности автоморфизмы, допускающие циклич. А. п. п. со скоростью , образуют в множество II категории (см. [2]). Поэтому А. п. п. позволяет получать так наз. категорные теоремы, утверждающие, что в (со слабой топологией) автоморфизмы с тем или иным свойством образуют множество I или II категории (напр., эргодические множества — II категории, а перемешивающие -I категории, см. [1]). Пусть X — топологическое или гладкое многообразие, а мера m. согласована с топологией или гладкостью. В классе гомеоморфизмов или диффеоморфизмов, сохраняющих (.1, естественными являются не слабая, а другие топологии. Для гомеоморфизмов справедливы категорные теоремы, сходные с имеющимися для 31 (историю и современное состояние проблемы см. в [5]). Лит.:[1] Халмош П., Лекции по эргодической теории, пер. с англ., М., 1959; [2] Каток А. Б., Стёпин А. М., "Успехи матем. наук", 1967, т. 22, М" 5, с. 81-106; [3] Аносов Д. В., Каток А. Б., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1970, т. 23, с. 3-36; [4] Каток А. Б., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1973, т. 37, Ml 3, с. 539-76; [5] Каток А. Б., Стёпин А. М., "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, № 2, с. 193- 220; [6] Akсоglu М. A., Chacon R. V., Sсhwartzbauеr Т., "Ргос. Amer. Math. Soc.", 1970, v. 24, № 3, p. 637- 642; f7]SchwartzbauerT., "Pacific J.Math.", 1972, v. 43, Mi 3, p. 753-64; [8] Кочергин А. В., "Матем. сб.", 1975, т. 96, М" 3, с. 472-502. Д. В. Аносов.