Аналитическая Геометрия

Раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрич. образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности 2-го порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики н техники в 17 в. Отчетливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ А. г. было сделано Р. Декартом (R. Dercartes) в его "Геометрии" (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма (P. Fermat). Дальнейшая разработка А. г. связана с трудами Г. Лейбница (G. Leibniz), И. Ньютона (I. Newton) и особенно Л. Эйлера (L. Euler). Средствами А. г. пользовался Ж. Лагранж (J. Lagran-ge) при построении аналитич. механики, Г. Монж (G. Monge) в дифференциальной геометрии. Ныне А. г. не имеет самостоятельного значения как наука, однако ее методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и др. наук. Сущность метода координат заключается в следующем. Рассмотрим, напр., на плоскости л две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу. Эти прямые с указанным на них направлением, началом координат Ои выбранной масштабной единицей еобразуют так наз. декартову прямоугольную систему координат Оху на плоскости. Прямые Ох и Оу наз. соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки Мна плоскости по отношению к этой системе Оху можно определить следующим образом. Пусть М х и My — проекции Мна Ох и Оу, а числа хи у- величины отрезков ОМ х и ОМ у (величина хотрезка ОМ x , напр., равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от О к М х совпадает с направлением на прямой Ох, и со знаком минус — в противоположном случае). Числа z (абсцисса) и у(ордината) наз. декартовыми прямоугольными координатами точки Мв системе Оху. Для обозначения точки М с абсциссой хи ординатой упользуются символом М( х, у). Ясно, что координаты точки Мопределяют ее положение относительно системы Оху. Пусть на плоскости я с данной декартовой прямоугольной системой координат Оху задана нек-рая линия L. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения данной линии Lотносительно системы Оху как соотношения вида F(x, у) = 0, к-рому удовлетворяют координаты хи улюбой точки М, расположенной на L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на L. Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрич. свойства линии Lвыясняются путем изучения аналитич. и алгебраич. средствами свойств уравнения F(x, y)=0 этой линии. Напр., геометрич. вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится аналитич. вопросу о числе решений алгебраич. системы уравнений прямой и окружности. В А. г. на плоскости подробно изучаются геометрич. свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину (см. Конические сечения). В А. г. на плоскости систематически исследуются так наз. алгебраические линии 1-го и 2-го порядков; эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраич. уравнениями 1-й и 2-й степеней. Линии 1-го порядка суть прямые и обратно, каждая прямая определяется алгебраич. уравнением 1-й степени Ах+Ву+С=0. Линии 2-го порядка определяются уравнениями вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в к-рой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. См. Линии второго порядка. В А. г. в пространстве декартовы прямоугольные координаты х, у и z (абсцисса, ордината и аппликата) точки Мвводятся в полной аналогии с плоским случаем. Каждой поверхности Sв пространстве можно сопоставить ее уравнение F(x, у,z)=0 относительно системы координат Oxyz. При этом геометрич. свойства поверхности S выясняются путем изучения аналитич. и алгебраич. средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию Lв пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S1 и S2. Если F1(x, у,z) = 0 и Р 2 (х, у, z) = 0 — уравнения S1 и S2, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Напр., прямую Lв пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. В А. г. в пространстве систематически исследуются так наз. алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядков. Выясняется, что алгебраич. поверхностями 1-го порядка являются лишь плоскости. Поверхности 2-го порядка определяются уравнениями вида: Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в к-рой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. См. Поверхности второго порядка. Лит.: [1] Декарт Р., Геометрия, пер. с франц. и латин., М.- Л., 1938; [2] Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; [3] Ефимо в Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 9 изд., M., 1967; [4] Ильин В. А., Позняк Э. Г., , М., 1968; [5] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; [6] Постников М. М., , М., 1973; [7] Бахвалов С. В., Моденов П. С., Пархоменко А. С., Сборник задач по аналитической геометрии, 3 изд., М., 1964. Э. Г. Позняк.