Алгебраический Цикл

На алгебраическом многообразии- элемент свободной абе левой группы, множество свободных образующих к-рой- все замкнутые неприводимые подмногообразия данного алгебраич. многообразия. Подгруппа группы алгебраич. циклов на многообразии , порожденная подмногообразием коразмерности р, обозначается через . Группа представима в виде прямой суммы Подгруппа совпадает с группой дивизоров Вейля на . В дальнейшем обозначает неособое проективное алгебрапч. многообразие размерности пнад алгебраически замкнутым полем k. Если k — поле комплексных чисел , то каждый А. ц. определяет -мерный класс гомологии и, по двойственности Пуанкаре, класс когомологии . Классы гомологии (соответственно когомологии) вида (соответственно ) наз. а л-гебраическими классами гомологии (соответственно когомологии). Каждый аналитич. цикл гомологичен А. ц. Имеется предположение (гипотеза Ходжа), что целочисленный -мерный цикл на гомологичен А. ц. тогда и только тогда, когда интегралы всех замкнутых дифференциальных форм типа по равны 0. Эта гипотеза доказана лишь в случаях (для см. [6], для всех псм. [7]) и , а также для отдельных классов многообразий (см. [4]). Если -А. ц. на произведении двух многообразий , то множество циклов на вида наз. семейством А. ц. на X, параметризованным базой . При этом обычно требуют, чтобы проекция каждого подмногообразия на была плоским морфиз-мом. Если определяется неприводимым подмногообразием, то соответствующее семейство А. ц. на Xназ. семейством алгебраических подмногообразий. В частности, для любого плоского морфизма алгебраич. многообразий его слои образуют семейство алгебраич. подмногообразий , параметризованное базой . Другим частным случаем этого понятия являются линейные системы. Все члены семейства алгебраич. подмногообразий (соответственно алгебраич. циклов) проективного многообразия X, параметризованного связной базой, имеют одинаковый Гильберта многочлен (соответственно виртуальный арифметический род). А. ц. на многообразии наз. алгебраически эквивалентными (что обозначается ), если они принадлежат одному и тому же семейству, параметризованному связной базой. Интуитивно эквивалентность А. ц. означает, что можно алгебраически деформировать в . Если в этом определении требовать, чтобы в качестве базы можно было выбрать рациональное многообразие, то А. ц. и наз. рационально эквивалентными (что обозначается ). В случае, когда , понятие рациональной эквивалентности сводится к понятию линейной эквивалентности дивизоров. Подгруппа А. ц., рационально (соответственно алгебраически) эквивалентных нулю, обозначается (соответственно ). Каждая из этих групп является прямой суммой своих компонент: Факторгруппа конечно порождена и наз. группой Нерона — Северн многообразия X. Вопрос о конечной порожденности при факторгруппы остается открытым (1977). Факторгруппа обладает структурой абеле-ва многообразия (см. Пикара схема). Операция пересечения циклов позволяет определить умножение в факторгруппе , превращающее ее в коммутативное кольцо, наз. кольцом Чжоу многообразия X (см. Пересечений теория). Для любой теории когомологий Вейля существует однозначно определенный гомоморфизм групп А. ц. наз. гомологически эквивалентными (что обозначается ), если Подгруппа А. ц., гомологически эквивалентных нулю, обозначается . Имеет место вложение . Факторгруппа конечно порождена и является подкольцом в кольце , к-рое обозначается через и наз. кольцом алгебраических классов когомологий Венля. Неизвестно (1977), зависит ли. от выбранной теории когомологий Вейля. А. ц. наз. -эквивалентными (что обозначается ), если существует такое, что . Подгруппа А. ц., -эквивалентных нулю, обозначается через . А. ц. из наз. численно эквивалентными (что обозначается ), если для любого имеет место равенство , при условии, что обе части равенства определены. Подгруппа А. ц., численно эквивалентных нулю, обозначается через . Имеют место включения Для дивизоров группы и совпадают [6]. Однако (как показывает построенный в [5] для случая контрпример) где рассматривается относительно обычной теории когомологий с рациональными коэффициентами. Аналогичный контрпример построен для поля произвольной характеристики и -адической теории когомологий Вейля. Остается открытым (1977) вопрос о совпадении групп . Пусть Xвложено в проективное пространство и — класс когомологпй гиперплоского сечения. Алгебраич. класс когомологий наз. примитивным, если . В случае, когда есть поле комплексных чисел , билинейная форма положительно определена на подпространстве примитивных классов в . Аналогичное утверждение для произвольного , тесно связанное с гипотезами Вейля о дзета-функции на алгебраич. многообразии, доказано лишь для . Если многообразие определено над полем , не являющимся алгебраически замкнутым полем, то группа Галуа сепарабельного алгебрапч. замыкания поля действует на когомологнях Вейля , где . Каждый элемент из инвариантен относительно нек-рой подгруппы конечного индекса группы . Имеется предположение (гипотеза Тейта об алгебраических циклах), что обратное утверждение также справедливо, если конечно порождено над своим простым подполем. На этом предположении основаны многие гипотезы о дзета-функции алгебраич. многообразия [2]. Лит.:[1] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] Тэйт Д ж., "Успехи матем. наук", 1965, т. 20, в. 6, с. 27-40, пер. с англ.; [3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1974, 77-170; [4] К1еirаan S. L., в сб.: Dix exposes sur cohomologie des schemas, Amst.-P., 1968, p. 359-86; [5] Griffiths P. A., "Ann. Math.", 1969, v. 90, JM" 3, p. 496-541; [6] Lefsсhetz S., L'Analysis situs et la gdometrie algebrique, P., [1924]; [7] Hоdge W., The theory and applications of harmonic integrals, Camb., 1941; [8] Groupes de monodromie en geometric algebrique, В., 1973. И. В. Долгачев.