Алгебраическая K-теория

Раздел алгебры, к-рый в основном занимается изучением К-функторов по существу — это часть общей линейной алгебры. Она имеет дело со структурной теорией проективных модулей и их групп автоморфизмов. Упрощенно, это — обобщение результатов о существовании и единственности (с точностью до автоморфизма) базиса векторного пространства и других общих теоретико-групповых фактов о линейных группах над полями. При переходе от поля к произвольному кольцу Rэти теоремы, как правило, уже неверны, а группы Гротен-дика и Уайтхеда в нек-ром смысле, являются мерой отклонения от их истинности. Аналогичные обобщения структурных теорем линейной алгебры возникают и в топологии. Векторное пространство можно рассматривать как частный случай векторного расслоения. Гомотопич. теория векторных расслоений и топологич. К-теория делают возможными рассмотрения такого рода. Существенную роль играет тот факт, что проективный модуль можно рассматривать как модуль сечений векторного расслоения. Это объясняет выбор именно класса проективных модулей в качестве объекта теории. В А. К- т . широко используются теория колец, гомологич. алгебра, теория категорий и теория линейных групп. А. K-т. имеет два различных историч. источника, оба лежащих в геометрии. Первый связан с нек-рыми топологич. препятствиями. Исходным пунктом было введение понятия Уайтхеда кручения, связанного с гомотоппч. эквивалентностью конечных комплексов и лежащего в группе Уайтхеда, являющейся нек-рой факторгруппой группы — целочисленное групповое кольцо фундаментальной группы П. Следующий шаг связан с рассмотрением топологич. пространства X, доминируемого конечным комплексом, и его обобщенной эйлеровой характеристики лежащей в группе Вычисление групп Уайтхеда и L-групп, являющееся в принципе алгебраич. задачей о групповых кольцах, и было одной из первых целей А. К-т. К 2 и другие высшие функторы имеют топологич. приложения такого же типа (напр., препятствие для деформации псевдоизотопии замкнутого многообразия в изотонию лежит в нек-рой факторгруппе группы . Алгебраич. изучение группы Уайтхеда началось в 40-х гг. 20 в. Сюда же примыкает изучение структуры линейных групп над произвольными кольцами, в частности теория определителей над телами (см. [10]). Второй источник А. К- т .- алгебраич. доказательство А. Гротендиком (A. Grothendieck) в 1957 теоремы Римана — Роха (см. [7]) и ее обобщений. В этом доказательстве был введен K-функтор К(Х).как группа значений универсальной аддитивной функции на когерентных пучках на гладком алгебраич. многообразии. Впрочем, хорошо известные ранее кольца представлений, Битта кольца классов квадратичных форм и т. п. являются родственными конструкциями. Затем К-функтор был перенесен в топологию, где нашел многочисленные применения, сделав возможным решение многих недоступных ранее задач. Кроме того, выяснилось, что эта конструкция открывает новые перспективы в понимании старых проблем анализа (вопрос об индексе эллиптических операторов), топологии (экстраординарные теории гомологии), теории представлений групп. Развитию А. K-т. для колец (начавшемуся с установления соответствия (аналогии) между проективными конечно порожденными модулями и векторными расслоениями) препятствовало, однако, отсутствие в алгебре адекватного аналога понятия надстройки в топологии. В 50 -60-х гг. 20 в. подверглись систематич. изучению проективные модули над конечными группами, была развита одна-из важнейших идей, лежащая в основе А. K-т.,- идея "стабилизации", состоящая, грубо говоря, в том, что общие закономерности проявляются более отчетливо при переходе к пределу по размерности рассматриваемых объектов (напр., линейных групп или проективных модулей). Были обнаружены связи А. K-т. с взаимности законами в теории алгебраич. чисел и алгебраич. функций, исследованы вопросы, связанные с конгруэнц-подгруппами, получен алгебраич. аналог Ватта теоремы периодичности — теория полиномиальных расширений. Для кольца R с единицей группа Гротендика K0(R).определяется как абелева группа, образующими к-рой служат классы изоморфных конечно порожденных проективных Я-модулей, с определяющими соотношениями где — класс модулей, изоморфных модулю Р. Пусть — полная линейная группа над вложение — прямой предел групп — подгруппа в порожденная элементарными матрицами т. е. матрицами с элементом на г, ;'-м месте, и совпадающая с единичной матрицей на остальных местах. Тогда Е(R).совпадает с коммутантом группы СL(R). Факторгруппа GL(R)/E(R). обозначается через K1(R).и наз. группой Уайтхеда. Наконец, группа Стейнберга при определяется в образующих соотношениями Переходя к прямому пределу, получают группу и естественный гомоморфизм при к-ром Ядро ker обозначается через (группа Милнора). Оно совпадает с центром группы St(R). Таким образом, — функторы из категории колец в категорию абелевых групп. Каждый из функторов K0 и K1 может быть охарактеризован как функтор, сопоставляющий конечно порожденному проективному модулю абелеву группу, удовлетворяющий нек-рым свойствам и универсальный относительно этих свойств. Такая "универсальная" характеризация позволяет определить аналог функторов K0 и K1 на "достаточно хороших" категориях. В частности, для категории нётеровых R-модулей получаются весьма близкие к Ki-(R) функторы G i -(R). Примеры групп Ki(R). Если R — тело, — его мультипликативная группа, то — группа целых чисел, — циклич. группа 2-го порядка. Если R — конечное поле, то K2(R) = 0. Важным результатом в А. K-т. является точная последовательность Майера- Вьеториса для декартова квадрата. Именно, если диаграмма — декартов квадрат гомоморфизмов колец, в к-ром — эпиморфизм, то точна последовательность причем, если также эпиморфизм, то последовательность дополняется членами Если I — двусторонний идеал кольца R, то последовательность Майера — Вьеториса позволяет (см. [8]) определить относительные функторы Ki -(R, I), дающие точную последовательность Достаточно полно исследован вопрос о поведении K- функторов при переходе от кольца R к его локалнза-цпл по центральной мультипликативно замкнутой системе. В частности, при соответствующих условиях на кольцо Rдля функтора С 0(R) получена точная последовательность Если кольцо Rкоммутативно, то группа K0(R).превращается в кольцо с единицей путем введения умножения, индуцируемого тензорным произведением модулей. Существует расщепляющийся эпиморфизм кольца на кольцо непрерывных целочисленных функций (кольцо рассматривается в дискретной топологии) на спектре кольца R. Ядро этого гомоморфизма обозначается Известно, что . является нильрадикалом кольца K0(R), причем если R- нётеро-во и размерность его максимального спектра равна то Если же эта размерность не превосходит 1, то группа изоморфна Пикара группеPic (K). Для колец арифметич. типа существуют теоремы конечности для функторов Ki (R).и Gi (R). Именно, если Аявляется кольцом целых чисел или кольцом многочленов над конечным полем, a Rявляется R-порядком и одновременно Я-решеткой в полупростой конечномерной алгебре над полем частных кольца А, то группы конечно порождены (i= 0, 1). Развитию А. А-т. способствовали исследования по проблеме конгруэнц-подгрупп: каждая ли подгруппа конечного индекса в арифметич. группе содержит некоторую конгруэнц-подгруппу? Этот вопрос тесно связан с проблемой вычисления группы для идеалов Из результатов о стабильном строении проективных модулей следует отметить теорему: если R — коммутативное нётерово кольцо, максимальный спектр к-рого имеет размерность d,a A — конечномерная R-алгебра, то любой конечно порожденный проективный А-модуль Ртакой, что для всех максимальных идеалов ткольца Rизоморфен (здесь — локализация модуля ). Другой важной теоремой о строении проективных модулей является теорема о сокращении: пусть кольца R, А и модуль Р — такие же, как выше, Q-конечно порожденный проективный А-модуль и М, N — произвольные А-модули. Тогда из следует С вопросами стабильного строения проективных модулей тесно связан стабильный ранг кольца R. Напр., если R — коммутативное кольцо стабильного ранга меньше d, то В связи с теорией индуцированных представлений групп изучались функторы Ki от групповых колец. Один из результатов этого направления: если G — конечная группа порядка пи С — семейство циклич. подгрупп группы G, то показатель подгруппы в группе при i=0, 1, 2 делит п. О полиномиальных расширениях колец известно, что если R — регулярное кольцо, то Кроме того, для произвольного кольца R точна последовательность Одним из результатов о вычислении функтора является теорема Мацумото: если R — поле, то группа задается образующими (взаимно однозначно сопоставленным всем ненулевым элементам аполя R) и соотношениями при В 70-х гг. 20 в. появились многочисленные варианты определения функторов при Было доказано [9] совпадение этих теорий, дающих классич. функторы при В ряде случаев найдены эффективные средства вычисления высших K-групп. Начала развиваться унитарная K-теория (см. [9], т. 3), изучающая аналогичные вопросы для модулей, на к-рых определены квадратичные и билинейные формы. Лит.:[1] Атья М., Лекции по А-теории, пер. с англ., М., 1967; [2] Bass H., Topics in algebraic A-theory. Tata institute of Fundamental research, Bombay, 1966; [3] Басс Х., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973; [4] Swan R. G., Algebraic K-theory, В.-Heidelberg-N.Y., 1968; [51 Swan Д. G., Evans E. G., A'-theory finite groups and orders, B.-Heidelberg-N.Y., 1970; [6] Algebraic A'-theory and its Geometric Applications, B.-Heidelberg-N.Y., 1969; [7] Maнин Ю. И., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, в. 5, с. 3-86; [8] Ми л нор Дж., Введение в алгебраическую А-теорию. пер. с англ., М., 1974; [9] Algebraic K-theory, v. I-III, В.- Heidelberg-N.Y., 1973; [10] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. С англ., М., 1969. А. В. Михалев, А. И. Немытое,