Алгебраическая Группа Преобразований

Алгебраическая группа G, действующая регулярно на алгебраич. многообразии V. Точнее, А. г. п. есть тройка — морфизм алгебраич. многообразий, удовлетворяющий условиям: для всех и g, (е- единица G). Если определены над полем k, то наз. алгебраич. группой k-преобразований. Напр., — присоединенное действие или действие посредством сдвигов, является А. г. п. Если G — алгебраич. подгруппа в GL(n), — ее естественное действие в аффинном пространстве — А. г. п. Для всякой точки через обозначается орбита х, а через — стабилизатор х. Орбита не обязательно замкнута в V, но всегда существуют замкнутые орбиты, напр, замкнутые орбиты минимальной размерности. Иногда под А. г. п. понимается алгебраич. группа G, действующая рационально (но не обязательно регулярно) на алгебраич. многообразии V(это значит, что — рациональное отображение, а выписанные выше свойства т выполнены для общих точек). Как показал А. Вейль [3], всегда существует многообразие бирационально изоморфное Vи такое, что действие индуцированное рациональным действием Gна V, регулярно. Задачи описания орбит, стабилизаторов, полей инвариантных рациональных функций (см. Инвариантов теория).и построения фактормногообразий являются основными в теории А. г. п. и имеют многочисленные применения. Лит.: [1]Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Дьедонне Ж., Керрол Д ж., Мамфорд Д., Гее метрическая теория инвариантов, пер. с англ., М., 1974; [3] Well A., "Amer. J. Math.", 1955, v. 77, Ms 2, p. 355-91. В.