Александера Инварианты

Инварианты, связанные с модульной структурой одномерных гомологии многообразия , на к-ром свободно действует свободная абелева группа ранга ас фиксированной системой образующих Проекция многообразия на пространство орбит М является накрытием, отвечающим ядру гомоморфизма фундаментальной группы многообразия М. Так как то группа где — коммутант ядра , изоморфна одномерной группе гомологии . При этом расширение порождает расширение (*): к-рое определяет на модульную структуру над целочисленным групповым кольцом группы (см. Групповая алгебра). Та же самая структура индуцируется в данным действием на . Фиксация образующих в отождествляет с кольцом лорановых многочленов от переменных ti . Расширение чисто алгебраически определяет и определено модульным расширением : (см. [5]). Здесь — ядро гомоморфизма е: (=1). Модуль наз. модулем Александера накрытия . В случае (рассмотренном впервые Дж. Александером [1]), в к-ром — дополнительное пространство нек-рого зацепления kкратности и. в трехмерной сфере , а накрытие отвечает гомоморфизму коммутирования : группы зацепления, — наз. модулем Александера зацепления k. Основные свойства G, существенные для дальнейшего: — свободная абелева группа, дефект группы Gравен 1, G имеет непредставление для к-рого (см. Узлов и зацеплений диаграммы). В случае зацеплений образующие отвечают меридианам компонент и фиксируются ориентацией этих компонент и сферы. Обычно Месть дополнительное пространство М(k).зацепления k, состоящего из ( п-2)-мерных сфер в . Кроме гомоморфизма рассматривается гомоморфизм : , где равно сумме коэффициентов зацепления петли, представляющей , со всеми . Матрица модульных соотношений модуля А а наз. матрицей Алексапдера накрытия, а в случае зацеплений — матрицей Александера зацепления. Она может быть получена как матрица где — копредставление группы G. При матрица модульных соотношений для получается из отбрасыванием столбца из нулей. Матрицы и определены модулями и лишь с точностью до преобразований, отвечающих переходам к другим копредставлениям модуля. Однако с их помощью вычисляется ряд инвариантов модуля. Идеала м и Александера наз. идеалы модуля А а, т. е. ряд идеалов кольца : где порождается минорами матрицы порядка для . Употребляется и противоположный порядок нумерации. Так как — гауссово кольцо и нётерово кольцо, то каждый идеал лежит в минимальном главном идеале его образующая определена с точностью до делителей единицы . Лоранов многочлен наз. i — м многочленом Александера, а — просто многочленом Александера зацепления (или накрытия ). Если то он домножается на так, чтобы Гомоморфизму отвечает модуль А, идеалы и полиномы , к-рые наз., соответственно, приведенным модулем Александера, приведенными идеалами Александера и приведенными многочленами Александера зацепления k(или накрытия -v. Если , то получается из заменой всех на . При делится на Полином наз. полиномом Хосокавы [4]. Модульные свойства (К).изучены в [4], [8], [10]. Случай зацеплений исследован мало. Для группа конечно порождена над любым кольцом R, содержащим Z, в к-ром обратим [7], в частности, над полем рациональных чисел, а если то над Z. В этом случае — характеристич. многочлен преобразования Степень равна рангу в частности, в том и только том случае, когда При n= 3 идеалы зацепления обладают следующим свойством симметрии: где черта означает взятие образа при автоморфизме, порожденном заменой всех на Отсюда вытекает, что = для нек-рых целых . Эта симметрия является следствием двойственности Фок-са — Троттера для групп узлов и зацеплений. Она может быть выведена также из Пуанкаре двойственности для многообразия с учетом свободного действия (см. [3]). Если то над полем дробей кольца цепной комплекс ацикличен (= 3). Следовательно, определено Рейдемейстера кручение отвечающее вложению где — группа единиц . Для для (с точностью до единиц ). Симметрия для n=3 является следствием симметрии . В случае из симметрии и свойства вытекает четность степени . Степень также четна [4]. Свойства многочленов узлов : делит и для , превосходящих нек-рое N, являются характеристическими, т. е. для каждого набора с этими свойствами существует узел , для к-рого они служат многочленами Александера. Полиномы Хосокавы [4] характеризуются свойством при любом ; полиномы двумерных узлов — свойством А. п., в первую очередь многочлены, являются мощным средством различения узлов и зацеплений. Напр., среди узлов из таблицы с менее чем девятью двойными точками А! не различает только три пары (см. Узлов таблица). См. также Узлов теория, Альтернирующие узлы и зацепления. Лит.:[1] Alexander J. W., "Trans. Amer. Math. 8оз.", 1928, v. 30, № 2, p. 275-306; [2] Reidemeister K., Knotentheorie, В., 1932; [3] Blanchfield R. G., "Ann. Math.", 1957, v. 65, p. 340-56; [4] Hоsоkawa P., "Osaka J. Math.", 1958, v. 10, p. 273-82; [5] Сrоw e11 R. H., "Nagoya Math. J.", 1961, v. 19, p. 27-40; [6] Кроуэлл Р., Фоке Р., Введение в теорию узлов, пер. с англ., М., 1967; [7] Neuwirth L., Knot group, Princeton (N.Y.), 1965; [8] Сrоwe11 R. H., "J. Math, and Mech.", 1965, v. 14, № 2, p. 289-98; [9] Levine J., "Amer. J. Math.", 1967, v. 89, p. 69-84; [10] Mi1nоr J. W., в кн.: Conference on the topalogy of manifolds, v. 13, Boston (a.o.), 1968, p. 115-33. А. В. Чернавский.