Александера Двойственность

Связь между гомологич. свойствами взаимно дополнительных подмножеств топологич. пространства, к-рая позволяет гомологич. свойства множества определять нек-рымн свойствами его дополнения. Первые теоремы такого рода были сформулированы в терминах не алгебраической, а теоретико-множественной топологии. В 1892 К. Жор-даном (С. Jordan) было доказано, что простая замкнутая непрерывная кривая разбивает плоскость на две области и является их общей границей (теорема Жордана). Эта теорема была (1911) независимо обобщена А. Лебегом (Н. Lebesgue) и Л. Э. Я. Брауэром (L. rЕ. J. Brouwer) на случай n-мерного многообразия, лежащего в n+1-мерном сферическом (или евклидовом) пространстве; при этом была установлена связь между указанным фактом и свойством r-мерного многообразия (в n-мерном пространстве) быть зацепленным с ( п — r-1)-мерным многообразием (А. Лебег). В 1913 Л. Э. Я. Брауэр показал, что число областей, на к-рые плоское замкнутое множество разбивает плоскость, зависит лишь от топологич. свойств этого множества. В 1922 Дж. Александер [1] впервые выразил двойственность этого рода в чисто гомологич. понятиях. Теорема Александера (см. [2], [3], [4]) утверждает, что г-мерное число Бетти mod 2 (конечного) полиэдра Ф, лежащего в n-мерном сферич. пространстве, равно ( п — r -1)-мерному числу Бетти mod 2 его дополнения. П. С. Александровым (1927) эта теорема была обобщена на случай любого замкнутого множества Ф. Двойственность, сформулированная в этой теореме, наз. двойственностью Александера. Следующим важным этапом в развитии этого рода двойственности была теорема Понтрягина (1934) (см. [2], [3], [4]), утверждающая, что г-мерная гомологии группа замкнутого множества А, расположенного в n-мерном сферич. многообразии над компактной группой Xкоэффициентов, и мерная группа гомологии дополнения над (дискретной) группой У коэффициентов, двойственной с Xв смысле теории характеров, двойственны в том же смысле, причем скалярное произведение определяется как коэффициент зацепления циклов, произвольно выбранных из перемножаемых классов гомологии. Эта теорема обычно наз. теоремой Александера- Понтрягина; двойственность, формулируемая в ней, наз. двойственностью Понтрягина, или двойственностью Александера- Понтрягина (см. Понтрягина двойственность). Ряд последующих обобщений завершился теоремой П. С. Александрова (см. [5], [7]), формулировка к-рой отличается от теоремы Понтрягпна тем, что Аможет быть произвольным подмножеством из , группа Xможет быть как компактной, так и дискретной, а под понимаются группы гомологии Александрова — Чеха (см. Александрова — Чеха гомологии и когомологии), причем одна — с компактными носителями, а другая — спектро-вого типа. Формы А. д. для любых множеств получаются заменой последних групп двойственными им группами когомологии той же размерности над двойственной группой коэффициентов. В дальнейших обобщениях сферич. многообразия заменяются более общими многообразиями ( гомологическими многообразиями, к-рые ацикличны в определенных размерностях), группы Александрова — Чеха — группами Ситникова — Стинрода и др., группы коэффициентов — модулями, пучками и т. п. Лит.:Ll] Alexander J. W., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1915, v. 16, p. 148-54; [2] Александров П. С., Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; [3] Понтрягин Л. С., "Успехи матем. наук", 1947, т. 2, в. 2, с. 45-55; 14] Лефшец С., Алгебраическая топология, пер. о англ., М., 1949; L5J Александров П. С., "Матем. сб.", 1947, т. 21, в. 3, с. 161-232; 16] его же, Топологические теоремы двойственности, ч. 1-2, "Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова", М., 1955, т. 48; 1959, т. 54; [7] Чогошвили Г. С., в кп.: Тр. 4 Всес. матем. съезда, т. 2, М., 1964, с. 57-62. Г. С. Чогошвили.