Якоби Многочлены

Многочлены, ортогональные на отрезке [-1, 1] с весовой функцией Стандартизованные Я. м. определяются Рoдрига фoрмулой а ортонормированные Я. м. имеют вид Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению При и для ортонормированных Я. м. имеет место весовая оценка где постоянная с 1 не зависит от пи х. А в точках последовательность возрастает со скоростью и соответственно. Ряды Фурье по Я. м. внутри интервала (-1, 1) аналогичны тригонометрич. рядам Фурье. А в окрестности концов отрезка ортогональности свойства рядов Фурье — Якоби иные, ибо в точках ортонормированные Я. м. возрастают неограниченно. Равномерная сходимость ряда Фурье — Якоби на всем отрезке [-1, 1] имеет место, если функция f(x) непрерывно дифференцируема рраз на этом отрезке и причем где При этих условиях выполняется неравенство где постоянная с 2 не зависит от пи х. С другой стороны, для остатка ряда Фурье — Якоби при и справедлива весовая оценка где постоянная с 3 не зависит от пи х,a En(f) — наилучшее равномерное приближение непрерывной функции f(x)на отрезке [-1, 1] многочленами порядка не выше п. Я. м. были введены К. Якоби [1] в связи с решением гипергеометрич. уравнения. Частными случаями Я. м. являются Лежандра многочлены (при Чебышева многочлены1-го рода (при Чебышева многочлены 2-го рола (при улътрасферические многочлены (при См. также ст. Классические ортогональные многочлены. Лит.:[1] Jасоbi С., лJ. reine und angew. Math.