Аффинное Многообразие

Аффинное алгебраическое многообразие,- обобщение понятия аффинного алгебраического множества. А. м. есть приведенная аффинная схема X конечного типа над полем k, т. е. , где А — коммутативная fe-алгебра конечного типа без нильпотентных элементов. А. м. — кольцо многочленов над полем k, наз. аффинным пространством над kи обозначается . Аффинная схема является А. м. тогда и только тогда, когда она изоморфна приведенной замкнутой подсхеме аффинного пространства. Каждая система образующих k-алгебры Аопределяет сюръективный гомоморфизм определяемый формулой Пусть — алгебраич. замыкание поля k. Подмножество множества , состоящее из общих нулей всех многочленов идеала , является аффинным алгебраич. множеством над полем k. Координатное кольцо такого аффинного алгебраич. множества изоморфно кольцу А. В свою очередь каждое аффинное алгебраич. множество Xнад полем kопределяет А. м. , где — координатное кольцо . При этом множество точек А. м. находится во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми подмногообразиями соответствующего аффинного алгебраич. множества. С каждым А. м. связан функтор на категории k-алгебр, определяемый соответствием В случае, когда (соответственно ), элементы множества (соответственно ) наз. геометрическим и (соответственно рациональными) точками А. м. X. Множество находится в биективном соответствии с множеством максимальных идеалов кольца , а также с множеством точек любого аффинного алгебраич. множества , координатное кольцо к-рого изоморфно . При этом спектральная топология в пространстве индуцирует на всюду плотном подмножестве топологию, к-рая соответствует топологии Зариского на V. И. В. Долгачее.