Ядерное Пространство

Локально выпуклое пространство, у к-рого все линейные непрерывные отображения в каждое банахово пространство являются ядерными операторами. Понятие Я. п. возникло [1] при исследовании вопроса о том, для каких пространств справедливы аналоги теоремы Шварца о ядре (см. Ядерная билинейная форма). Основополагающие результаты теории Я. и. принадлежат А. Гротендику [1]. Употребительные в анализе функциональные пространства, как правило, являются банаховыми или Я. п. Важную роль играют Я. п. в спектральном анализе операторов в гильбертовых пространствах (построение оснащенных гильбертовых пространств, разложения по обобщенным собственным векторам и т. п.) (см. [2]). Я. п. тесно связаны с теорией меры на локально выпуклых пространствах (см. [3]). Удается охарактеризовать Я. п. в терминах инвариантов типа размерности (аппроксимативная размерность, диаметральная размерность и др.) (см. [2], [4], [5]). Одним из таких инвариантов является функциональная размерность, к-рая для многих пространств, состоящих из целых аналитич. ф-ций, совпадает с числом переменных, от к-рых зависят эти функции (см. [2]). По своим свойствам Я. п. приближаются к конечномерным пространствам. Каждое ограниченное множество в Я. п. предкомпактно. Если Я. п. полно (или хотя бы квазиполно, т. е. каждое замкнутое ограниченное множество является полным), то оно полурефлексивно (т. е. второе сопряженное к этому пространству совпадает с ним по запасу элементов) и каждое замкнутое ограниченное множество в нем является компактным. Если квазиполное Я. п. является бочечным пространством, то оно является и Монтеля пространством (в частности, рефлексивно); всякая слабо сходящаяся счетная последовательность в таком пространстве сходится и в исходной топологии. Нормированное пространство ядерно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Каждое Я. п. обладает свойством аппроксимации: любой непрерывный линейный оператор в таком пространстве можно приблизить в операторной топологии предкомпактной сходимости операторами конечного ранга (т. е. непрерывными линейными операторами с конечномерными образами). Тем не менее существуют ядерные Фреше пространства, не обладающие свойством ограниченной аппроксимации: в таком пространстве тождественный оператор не является пределом счетной последовательности операторов конечного ранга в сильной или слабой операторной топологии [6]. Построены Я. п. Фреше без базиса Шаудера, причем такие пространства могут иметь сколь угодно малую диаметральную размерность, т. е. в нек-ром смысле могут быть сколь угодно близкими к конечномерным [7]. Для Я. п. построен и контрпример к проблеме инвариантного подпространства: в нек-ром ядерном пространстве Фреше указан непрерывный линейный оператор, не имеющий нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств [8]. Примеры Я. п. 1) Пусть — пространство всех (действительных или комплексных) бесконечно дифференцируемых функций на наделенное топологией равномерной сходимости со всеми производными на компактных подмножествах в Сопряженное к пространство состоит из всех обобщённых функций с компактным носителем. Пусть и — линейные подпространства в состоящие соответственно из функций с компактным носителем и из функций, убывающих при вместе со всеми производными быстрее любой степени | х|-1. Сопряженные к и относительно стандартной топологии пространства и состоят соответственно из всех обобщенных функций и всех обобщенных функций медленного роста. Пространства наделенные сильными топологиями, являются полными рефлексивными Я. п. 2) Пусть — бесконечная матрица, причем п, р=1,2, .... Пространство таких последовательностей что для всех р, с топологией, задаваемой преднормами наз. пространством Кёте и обозначается Это пространство ядерно тогда и только тогда, когда для любого рнайдется такое q, что Свойства наследования. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда ядерно его пополнение. Каждое подпространство (отделимое факторпространство) Я. п. ядерно. Прямая сумма, индуктивный предел счетного семейства Я. п., а также произведение, проективный предел любого семейства Я. п.- снова Я. п. Пусть Е — произвольное локально выпуклое пространство, Е' — сопряженное пространство к Е, наделенное сильной топологией. Если Е' — Я. п., то Еназ. дуально ядерным. Если Е — произвольное пространство, a F — Я. п., то пространство L(E, F )непрерывных линейных операторов из Ев Fявляется Я. п. относительно сильной операторной топологии (простой сходимости); если к тому же Еполурефлексивно и дуально ядерно, то L(E, F) ядерно и в топологии ограниченной сходимости. Метрические и дуально метрические Я. п. Локально выпуклое пространство Еназ. дуально метрическим или пространством типа если оно имеет счетную фундаментальную систему ограниченных множеств и каждое (сильно) ограниченное счетное объединение равностепенно непрерывных подмножеств в Е' равностепенно непрерывно. Всякое сильное сопряженное к метризуемому локально выпуклому пространству является дуально метрическим; обратное неверно. Если Е — пространство типа то Е' — пространство типа (пространство Фреше, т. е. полное и метризуемое). Примерами Я. п. типа являются пространства Кёте, а также соответственно — Я. п. типа Пространства и не являются ни метрическими, ни дуально метрическими. Метрические и дуально метрические Я. п. сепарабельны, а если они полны, то рефлексивны. Переход к сопряженному пространству устанавливает взаимно однозначное соответствие между Я. п. типа и полными Я. п. типа Если Е — полное Я. п. типа a F — Я. п. типа то пространство операторов L(E, F), наделенное топологией ограниченной сходимости, ядерно и дуально ядерно. Каждое Я. п. типа изоморфно подпространству пространства бесконечно дифференцируемых функций на прямой, т. е. — универсальное пространство для Я. п. типа (см. [10]). Пространство Фреше Еядерно тогда и только тогда, когда всякий безусловно сходящийся ряд в Есходится абсолютно (т. е. по любой непрерывной преднорме). Интенсивно изучаются пространства голоморфных функций на Я. и. типа и (см. [11]). Тензорные произведении Я. п. и пространства вектор-функций. Алгебраическое тензорное произведение локально выпуклых пространств Еи Fможно наделить проективной и слабой топологиями, превращающими в топологическое тензорное произведение. Проективная топология — это сильнейшая локально выпуклая топология, для к-рой каноническое билинейное отображение непрерывно. Слабая топология (или топология (би)равностепенно непрерывной сходимости) индуцируется при естественном вложении где -сопряженное пространство к Е, наделенное топологией Макки а — пространство непрерывных линейных отображений наделенное топологией равномерной сходимости на равностепенно непрерывных множествах в К'. При этом вложении алемент переходит в оператор где < х, х'> — значение функционала на Пополнение в проективной (слабой) топологии обозначается (соответственно Для того чтобы Ебыло Я. п., необходимо и достаточно, чтобы для произвольного локально выпуклого пространства . проективная и слабая топологии в совпадали, т. е. Если F совпадает с пространством l1 суммируемых последовательностей, то Е — Я. п.; вместо l1 можно взять любое пространство с безусловным базисом (см. [12]). Тем не менее существует такое (неядерное) бесконечномерное сепарабельное банахово пространство X, что (см. [13]). Если Еи F- полные пространства и F — Я. и., то вложение продолжается до изоморфизма между Если Е — ненулевое Я. п., то ядерно тогда и только тогда, когда Fядерно. Если Еи F — оба пространства типа (или и Е — ядерно, то — пространство типа (соответственно и Пусть Е- полное Я. п., состоящее из скалярных функций (не всех) на нек-ром множестве Т, причем . является индуктивным пределом (локально выпуклой оболочкой) счетной последовательности пространств типа и топология в Е не слабее топологии поточечной сходимости функций на Т. Тогда для любого полного пространства Fможно отождествить с пространством всех таких отображений (вектор-функций) что скалярные функции принадлежат Едля всех В частности, совпадает с пространством всех бесконечно дифференцируемых вектор-функций на со значениями в F, а Структура Я. п. Пусть U — выпуклая закругленная окрестность нуля в локально выпуклом пространстве Е, а р — соответствующий Uфункционал Минковского (непрерывная преднорма), Е U — факторпространство Е/р-1(0) с нормой, индуцированной проднормой — пополнение нормированного пространства Е U. Определено непрерывное каноническое линейное отображение если окрестность Uсодержит окрестность F, то канонически определяется непрерывное линейное отображение Для локально выпуклого пространства . следующие условия эквивалентны: 1) Еявляется Я. п.; 2) в . существует такой базис выпуклых закругленных окрестностей нуля, что для любой окрестности канонич. отображение является ядерным оператором; 3) отображение ядерно для любой выпуклой закругленной окрестности нуля Uв Е; 4) всякая выпуклая закругленная окрестность нуля Uв Есодержит другую такую окрестность нуля V, что ядерно канонич. отображение Пусть К — Я. и. Для любой окрестности нуля U в Еилюбого такого числа р, что существует выпуклая закругленная окрестность для к-рой EV (понорме) изоморфно подпространству в пространстве lp суммируемых со степенью рпоследовательностей. Таким образом, Есовпадает с локально выпуклым ядром (индуктивным пределом) семейства пространств, изоморфных lp. В частности (случай р=2) в любом Я. п. Есуществует такой базис окрестностей нуля что все пространства гильбертовы; таким образом, Е — мультигильбертово пространство, т. е. топология в Еможет быть порождена семейством преднорм, каждая из к-рых получается из нек-рой неотрицательно определенной эрмитовой формы на Любое полное Я. п. изоморфно проективному пределу семейства гильбертовых пространств. Пространство Етипа ядерно тогда и только тогда, когда его можно представить в виде такого проективного предела счетного семейства гильбертовых пространств Н п. что gmn -ядерные операторы (или хотя бы Гильберта-Щмидта oператoры )при m<n. Базисы в Я. п. В Я. п. любой равностепенно непрерывный базис является абсолютным. В пространстве типа любой счетный базис (хотя бы слабый) является равностепенно непрерывным базисом Шаудера, так что в Я. п. типа всякий базис является абсолютным (в частности, безусловным). Аналогичный результат справедлив для полных Я. п. типа и всех Я. п., для к-рых имеет место теорема о замкнутом графике. Факторпространство Я. п. типа с базисом не обязано иметь базис (см. [4], [5], [6]). Пусть Е- Я. п. тина Топологию в Еможно задать счетной системой преднорм , р=1, 2, .. ., причем для всех Если в Есуществует базис или непрерывная норма, то преднормы можно считать нормами. Пусть — базис в Е;тогда любой элемент разлагается в сходящийся (абсолютно и безусловно) ряд где координаты имеют вид а функционалы образуют биортогональный базис в Е'. Пространство Еизоморфно пространству Кётe где при этом изоморфизме элемент переходит в последовательность своих координат Базис в Еэквивалентен базису ,т. е. получается из него под действием изоморфизма тогда и только тогда, когда пространства Кёте и совпадают как множества [4]. Базис наз. регулярным (пли правильным), если существует система норм и перестановка индексов такие, что монотонно убывает при всех Если Я. п. Етипа имеет регулярный базис, то любые два базиса в Еквазиэквивалентны (т.