Ядерная Норма

Следовая норма,- норма в пространстве N(X, Y) ядерных операторов, отображающих банахово пространство Xв банахово пространство Y. Пусть X, Y — банаховы пространства над полем действительных или комплексных чисел, L(X, Y) — пространство всех непрерывных линейных операторов, отображающих Xв Y, F(X, Y) — линейное подпространство, состоящее из операторов конечного ранга (т. е. операторов с конечномерным образом). Банахово сопряженное пространство к Xобозначается X', значение функционала на векторе обозначается <x, х'>. Каждый ядерный оператор допускает представление в виде где и — такие последовательности в X' и Y соответственно, что такие представления наз. ядерными. Величина где точная нижняя грань берется по всевозможным ядерным представлениям вида (1), наз. ядерной нормой оператора А. Эта норма превращает N(X, Y) в банахово пространство, к-рое содержит F(X, Y) в качестве плотного линейного подпространства. Если то сопряженный оператор А' содержится в N'(Y, X' )и Пусть — обычная операторная норма в L(X, Y). Тогда для всех Если , то и если то и Любой оператор представим в виде Величина где точная нижняя грань берется по всевозможным конечным представлениям вида (3), наз. конечной ядерной нормой оператора F. Пространство F(X, Y )можно отождествить с тензорным произведением При этом оператору Fвида (3) соответствует элемент и конечная Я. н. (4) переходит в норму где точная нижняя грань берется по всем конечным представлениям элемента ив виде (5). Эта норма наз. тензорным (или скрещенным) произведением норм в Y и в X'. Пополнение по норме (6) обозначается Отображение при к-ром элемент (5) переходит в оператор (3), продолжается до непрерывного линейного оператора Образ оператора Г совпадает с N( Х, Y). Если отображение Г устанавливает взаимно однозначное соответствие между и N(X, Y), тo(X, Y )совпадает с замыканием F(X, Y) по норме (4); в этом случае сужение Я. н. на F(X, Y) совпадает с конечной Я. н. Однако в общем случае оператор Г может иметь нетривиальное ядро, так что Я. н. является результатом факторизации нормы в (см. Ядерный оператор). Пусть X=Y=H, где H — сепарабельное гильбертово пространство; L(H)=L(H, Н)- алгебра ограниченных операторов в Н, L1(H)=N(H, Н)- идеал ядерных операторов в L(H). В этом случае отображение Г взаимно однозначно, для операторов конечного ранга Я. н. совпадает с конечной Я. н. и каждый оператор имеет след trA(см. Ядерный оператор). Я. н. оператора совпадает с величиной где А *- сопряженный к Аоператор в H. Я. н. связана с Гильберта-Шмидта нормой неравенством Общий вид линейного непрерывного функционала в банаховом пространстве L1(H) дается формулой где В — произвольный оператор из L(Н). причем норма функционала (7) совпадает с ||B||. Следовательно, L(H)изометрично пространству, сопряженному к L1(H). Формула (7) дает общий вид линейного функционала и на замкнутом подпространстве в L(H), состоящем из всех вполне непрерывных (компактных) операторов; при этом а Впробегает Ll(H). При этом норма функционала (7) совпадает с т. е. пространство ядерных операторов L1(H)с Я. н. изометрично пространству, сопряженному к в обычной операторной норме. Перечисленные результаты допускают нетривиальные обобщения на случай операторов в банаховых пространствах. Пример. Пусть X=Y=ll — пространство суммируемых последовательностей. Оператор содержится в N(l1,l1 )тогда и только тогда, когда существует такая бесконечная матрица что A переводит последовательность и В этом случае Лит.:[1] Grothendieck Л., Froduits tensoriels topologiques et espaces nucleaircs, Providence, 1955; [2] Пич А., Операторные идеалы, пер. с англ., М., 1982; [3] его же, Ядерные локально выпуклые пространства, пер. с нем., М., 1967; [4] Гохберг И. Ц., Крейн М. Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, М., 1965; [5] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961; [6] Морен К., Методы гильбертова пространства, пер. с польск., М., 1965; [7] Дэй М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961. Г. Л. Литвинов.