Адель

Элемент группы аделей, т. е. топологич. прямого произведения групп с отмеченными открытыми подгруппами Здесь — линейная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем — множество всех неэквивалентных нормировании поля — пополнение kотносительно — кольцо целых элементов в Группа А. алгебраич. группы G обозначается через Так как все группы локально компактны, а компактны, то — локально компактная группа. Примеры. 1) Если — аддитивная группа k+ поля то обладает естественной структурой кольца, к-рое наз. кольцом аделей поля и обозначается 2) Если — мультипликативная группа поля то наз. группой иделей поля (группа иделей является группой единиц в кольце аделей 3) Если — полная линейная группа над то состоит из таких элементов что для почти всех нормировании Понятие группы А. было впервые введено К. Шевалле (С. Chevalley) в 30-х гг. 20 в. для полей алгебраич. чисел в связи с потребностями теории полей классов. Спустя 20 лет оно было обобщено М. Кнезером (М. Kneser) и Ц. Тамагава (Т. Tamagawa) на алгебраич. группы (см. [1], [2]). Последние заметили, что основные результаты об арифметике квадратичных форм над числовыми полями удобно переформулировать на языке группы А. Образ диагонального вложения является дискретной подгруппой в и наз. подгруппой главных аделей. Если — множество всех архимедовых нормировании то наз. подгруппой целых аделей. Если то число различных двойных классов смежности вида группы А. конечно и равно числу классов идеалов поля k. Естественно возникающий вопрос о конечности числа таких двойных классов для произвольной алгебраич. группы G связан с теорией приведения для подгруппы главных А., т. е. с конструкцией фундаментальной области для факторпространства В [5] доказано, что тогда и только тогда компактно, когда группа Gявляется k-анизотропной (см. Анизотропная группа). Более того, решен вопрос о том, когда над полем алгебраич. чисел факторпростран-ство имеет конечный объем в Хаара мере. Так как локально компактна, то такая мера всегда существует и объем в мере Хаара конечен тогда и только тогда, когда группа G не имеет рациональных k-характеров (см. Характер алгебраич. группы). Величина объема представляет важный арифметич. инвариант алгебраич. группы (см. Тамагавы число). Опираясь на эти результаты, доказано (см. [5]), что для произвольной алгебраич. группы имеет место разложение Для случая, когда k — функциональное поле, также доказана конечность числа двойных классов смежности указанного вида для группы А. алгебраич. группы и построен аналог теории приведения [6]. Относительно разнообразных арифметич. применений группы А. см. [4], [7]. Лит.:[1] Вейль А., "Математика", 1964, т. 8, №4, с. 3-74; [2] Арифметические группы и автоморфные функции, пер. с англ, и франц., М., 1969, с. 44-55; [3] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [4] Итоги науки. Алгебра. Геометрия. Топология, т. 11, М., 1973, с. 5-37; [5] Воrе1 А., в кн.: Publ. Math. I.H.E.S., 1963, № 16, р. 5-30; [6] Harder G., "Invent, math.", 1969, v. 7, К. 1, p. 33-54; [7] Платонов В. П., "Труды матем. института им. Стеклова", 1973, т. 132, с. 162-68; [8] Вейль А., Основы теории чисел, пер. с англ., М., 1972. В. П. Платонов.