Аддитивная Теория Чисел

Раздел теории чисел, в к-ром изучаются задачи о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраич. и геометрич. аналоги таких задач, относящиеся к полям алгебраич. чисел и к множествам точек решетки. Эти задачи наз. аддитивными задачами. Обычно рассматриваются аддитивные задачи о разложении больших чисел. К классич. проблемам А. т. ч. относятся: задача о представлении числа суммой четырех квадратов, девяти кубов и т. д. (см. Варинга проблема);задача о представлении числа в виде суммы не более трех простых (см. Гольдбаха проблема);задача о представлении числа в виде суммы простого и двух квадратов (см. Харди — Литлвуда проблема).и другие аддитивные проблемы. Для решения задач А. т. ч. применяются аналитические, алгебраические, элементарные и смешанные методы, а также методы, основанные на вероятностных соображениях. В зависимости от методов решения, аддитивные задачи входят составной частью в другие разделы теории чисел — аналитич. теорию чисел, алгебраич. теорию чисел, вероятностную теорию чисел. Первые систематич. результаты в А. т. ч. были получены Л. Эйлером (L. Euler, 1748), к-рый исследовал с помощью степенных рядов разложения целых чисел на положительные слагаемые; в частности, им была рассмотрена задача о разложении числа на заданное количество слагаемых. Многие классич. задачи А. т. ч. решаются методом редукции к производящим функциям, к-рый восходит к Л. Эйлеру и лежит в основе аналитич. методов, развитых Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. И. Литлвудом (J. Е. Littlewood) и И. М. Виноградовым. Исходной является идея сопоставления заданным последовательностям степенных рядов с производящей функцией где — количество представлений числа пв виде При этом вычисляется при помощи интеграла Ко-ши. В методе Виноградова степенные ряды заменяются тригонометрич. суммами Из r(п).выделяется главная часть, состоящая из интервалов, распространенных на окрестности нек-рых рациональных точек. Вместо аналитич. свойств требующих в ряде задач А. т. ч. привлечения гипотез, аналогичных Римана гипотезе, центральную роль при вычислении r(n) играют чисто арифметич. оценки тригонометрич. сумм по методу Виноградова и законы распределения простых чисел в арифметич. прогрессиях, получаемые трансцендентными методами теории L- функций Дирихле. Устанавливается, что в зависимости от kлибо для всех либо для достаточно больших п , либо для почти всех пвыполняется соотношение т. е. или, наконец, для имеется асимптотич. формула. Наименьшее число k, удовлетворяющее одному из перечисленных условий, обозначается соответственно В случае — последовательность простых чисел, при получается теорема Виноградова: всякое достаточно большое нечетное число может быть представлено в виде суммы трех простых чисел; при — теорема Чудакова: почти все четные числа могут быть представлены в виде суммы двух простых чисел. Нек-рые задачи А. т. ч. решаются при помощи исследования структуры множеств, получающихся в результате суммирования последовательностей заданных лишь их плотностями где Из положительности при уже следует, что Применение этого факта к задачам А. т. ч., в к-рых суммируются последовательности нулевой плотности, осуществляется путем конструирования из данных последовательностей новых последовательностей с положительной плотностью. Ведущую роль при этом играют решета методы, с помощью к-рых доказывается положительность Таким способом Л. Г. Шнирельманом доказана теорема о представимости натуральных чисел в виде суммы ограниченного числа простых слагаемых, Ю. В. Линником найдено элементарное решение проблемы Варинга. Элементарные методы решета, принадлежащие В. Вруну (см. Вруна решето).и А. Сельбергу (см. Сельберга решето), приводят в ряде задач А. т. ч. к результатам, недоступным пока современным аналитич. средствам. Однако наиболее законченные решения нек-рых задач А. т. ч. получаются путем комбинирования аналитических и элементарных методов. В методах решета принцип высеивания простых чисел из натурального ряда (см. Эратосфена решето).распространяется на совокупности последовательностей. Так, одновременное высеивание с должной точностью из последовательностей и простых чисел, и, соответственно, (где — надлежащим образом выбранные положительные константы), приводит к решению так ваз. квазипроблемы Гольдбаха- Эйлера о представлении четного числа суммой двух чисел, одно из к-рых имеет не более а другое — не более простых множителей. В 1959 Ю. В. Линником при помощи созданного им дисперсионного метода была решена проблема Харди — Литлвуда, а именно, было доказано (см. [2]), что всякое достаточно большое натуральное число может быть представлено в виде суммы простого числа и двух квадратов целых чисел. Дисперсионным методом был решен ряд так наз. бинарных проблем, связанных с нахождением числа решений уравнения где пробегают заданные последовательности чисел, достаточно хорошо распределенные в арифметич. прогрессиях. Для метода Линника характерно использование элементарных теоретико-вероятностных понятий, примененных П. Л. Чебышевым в его выводе закона больших чисел. С этой целью данное бинарное уравнение сводится к большому числу вспомогательных уравнений, для к-рых сопоставляются ожидаемые количества решений уравнений. Если подсчет дисперсии показывает, что "в среднем" мало отличаются от Si(n), то Q(n).е Si (n) (с допустимой погрешностью). Дисперсионный метод был использован также для исследования общего уравнения Харди — Литлвуда. Область применения дисперсионного метода пересекается с областью применения метода большого решета, разработанного Ю. В. Линником в 1941. Этот метод позволяет высеивать последовательности при помощи простых чисел с возрастающим числом выбрасываемых вычетов. Фактически метод большого решета является следствием законов распределения слабо зависимых случайных величин. В А. т. ч. существуют задачи, систематич. изучение к-рых относится к другим разделам теории чисел: проблема представимости целых чисел квадратичными формами и формами высших степеней; исследование дио-фантовых уравнений, допускающих трактовку с позиций общей А. т. ч. В современной теории чисел интенсивно развиваются различные направления А. т. ч., наблюдается тенденция к перенесению проблем и методов А. т. ч. на произвольные поля алгебраич. чисел. Лит.:[1] Виноградов И. М., Избранные труды, М., 1952;[2] Линник Ю. В., Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, Л., 1961; [3] Хуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964; [4] Оstmann H. H., Additive Zahlentheorie, Bd 1-2, В., 1956; [5] Чудаков Н. Г., "Успехи матем. наук", 1938, вып. 4, с. 14-33;. [6] Бредихин Б. М., там же, 1965, т. 20, в. 2 (122), с. 89-130. Б. М. Бредихин.