Абеля — Гончарова Проблема

Проблема Гончарова, — проблема в теории функций комплексного переменного, состоящая в нахождении множества всех функций из того или иного класса, удовлетворяющих соотношениям где — допустимые для данного класса последовательности комплексных чисел. Эта проблема была поставлена В. Л. Гончаровым (см. [2]). Функции ставится в соответствие ряд — интерполяционный ряд Абеля-Гончарова, где — полином Гончарова, определяемый равенствами: Случай, когда — действительные числа с формальной точки зрения рассмотрен Н. Абелем . Здесь Ряд (*) является инструментом для изучения нулей последовательных производных регулярных функций. Множество функций представимых рядом (*), наз. классом сходимости А.- Г. п. В случае был выделен класс сходимости А.- Г. п. в терминах ограничений на порядок и тип целых функций /(z) в зависимости от роста величины (см. [2]). В случае где — медленно растущая функция, был получен в нек-ром смысле точный класс сходимости А.- Г. п. (см. [6]). Были выделены также классы сходимости А.- Г. п. для целых функций конечного и бесконечного порядков в терминах различных ограничений, наложенных на индикаторы соответствующих классов функций; рассмотрена А.- Г. п. для целых функций многих переменных. Для нек-рого класса узлов интерполяции получены точные оценки полиномов Гончарова. Пусть — класс функций f(z) вида — класс всевозможных последовательностей таких, что n= 0,1,.... Границей сход и мости для класса La наз. верхняя грань тех значений r, для к-рых всякая функция представима рядом (*). Нижняя грань тех r, для к-рых существуют функция и последовательность такие, что наз. границей единственности. Величины наз. соответственно константами Уиттекера и Гончарова. Было показано, что (см. [6]); доказаны также более общие утверждения: (см. [5], [10]). Таким образом, при А.- Г. п. сводится к нахождению константы Ее точное числовое значение неизвестно, однако найдены оценки: 0,7259<W1<0,7378 (см. [9]). При рассмотрении А.- Г. п. в классе функций, регулярных в области и таких, что было показано, что для любого множества чисел удовлетворяющих условию где — возрастающая подпоследовательность натуральных чисел, из равенств следует Причем для любого числа b>0 cуществуют последовательность и функция для к-рых (см.[7]). А.- Г. п. включает так наз. задачу о двух точках, поставленную Э. Уиттекером (см. [12]). Пусть последовательности таковы, что Задача состоит в выяснении условий, при к-рых существует регулярная на отрезке [0, 1] функция удовлетворяющая условиям Эта задача решалась в различных подклассах класса функций, регулярных в круге Полученные в нек-ром смысле точные условия выражены в терминах различных ограничений, наложенных на коэффициенты avk разложений в зависимости от (см. [3]). Эта задача была обобщена, для решения ее были использованы методы теории бесконечных систем линейных уравнений (см. [4]). В частном случае, когда последовательность образует арифметич. прогрессию для целых функций экспоненциального типа, задача о двух точках в известном смысле решена до конца (см. [8]).